On the bisections of a local Lie grpoupod

Sintesi Tecnica: Sulle Bisezioni di un Gruppoide di Lie Locale

Enunciato del Problema
Il saggio affronta la teoria dell'integrazione dei algebroidi di Lie. Sebbene ogni algebroide di Lie ammetta un'integrazione locale in un gruppoide di Lie locale (come dimostrato da Cabrera, Mărcuţ e Salazar), l'esistenza di un'integrazione in un gruppoide di Lie globale è ostacolata dai gruppi di monodromia globale (Crainic e Fernandes). Di conseguenza, i grubuide di Lie locali fungono da naturale ponte infinitesimale-globale. Un problema centrale in questa teoria è la "globalizzabilità": determinare quando un gruppoide di Lie locale può essere esteso a un gruppoide di Lie globale.

In parallelo, la teoria delle bisezioni fornisce un collegamento tra i gruppiide di Lie e la teoria dei gruppi di Lie a dimensione infinita. Schmeding e Wockel hanno stabilito che lo spazio delle bisezioni di un gruppoide di Lie globale possiede una naturale struttura di gruppo di Lie a dimensione infinita. Questo articolo investiga la struttura analoga per i gruppoide di Lie locali, ponendosi specificamente le seguenti domande:

1. Lo spazio delle bissezioni ammissibili di un gruppoide di Lie locale forma un gruppo di Lie locale?
2. Qual è la relazione tra l'algebra di Lie di questo gruppo di Lie locale e le sezioni dell'algebroide di Lie associato?
3. In che modo la globalizzabilità di un gruppoide di Lie locale si relaziona alla globalizzabilità del suo associato gruppo di Lie locale di bisezioni?

Metodologia e Framework
Gli autori operano all'interno del framework della teoria dei manifold a dimensione infinita, utilizzando nello specifico spazi vettoriali topologici localmente convessi e localmente metrici. Lo studio si concentra su gruppiide di Lie locali $G$ su un manifold compatto $M$ che ammettono un addizione locale adattata. Questa condizione tecnica è cruciale per costruire strutture di manifold sugli spazi di mappe lisce ($C^\infty(M, G)$) e sulle sezioni.

La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi:

• Costruzione dello Spazio delle Bisezioni: Gli autori definiscono una bisezione di un gruppoide di Lie locale come una sezione liscia $\sigma: M \to G$ della mappa sorgente $\alpha$ tale che $\beta \circ \sigma$ sia un diffeomorfismo. Costruiscono la struttura di manifold sullo spazio di tali bisezioni, denotato $\text{Bis}(G)$, identificandolo come un sottoinsieme aperto del lo spazio delle sezioni $\Gamma(M \leftarrow_\alpha G)$.
• Definizione della Struttura di Gruppo: Moltiplicazione e inversione sono definite puntualmente utilizzando la moltiplicazione e l'inversione locale di $G$, regolate dalla proprietà di diffeomorfismo delle bisezioni.
• Corrispondenza dell'Algebra di Lie: Lo spazio tangente all'identità di $\text{Bis}(G)$ viene analizzato per stabilire un isomorfismo con lo spazio delle sezioni dell'algebroide di Lie $L(G)$.
• Analisi della Globalizzazione: Il saggio impiega la caratterizzazione di Mal'cev per la globalizzabilità dei gruppi di Lie locali (associatività globale) e il risultato analogo per i gruppiide di Lie locali (stabilito da Fernandes, Michiels e Zhang) per derivare le condizioni sotto le quali la globalizzabilità di una struttura implica quella dell'altra.

Contributi Chiave e Risultati

1. Struttura di Gruppo di Lie Locale sulle Bisezioni (Teorema 1.3 / 3.3):
   Il saggio dimostra che per un gruppoide di Lie locale localmente convesso e localmente metrico $G$ su un manifold compatto $M$ che ammette un'addizione locale adattata, l'insieme di tutte le bisezioni ammissibili $\text{Bis}(G)$ forma un gruppo di Lie locale. La prova si basa sulla regolarità (smoothness) della mappa di valutazione e sul fatto che lo spazio dei diffeomorfismi sia un sottoinsieme aperto dello spazio delle mappe lisce.

2. Isomorfismo dell'Algebra di Lie (Teorema 4.3):
   Gli autori stabiliscono che l'algebra di Lie del gruppo di Lie locale $\text{Bis}(G)$ è anti-isomorfa allo spazio delle sezioni $\Gamma(L(G))$ dell'algebroide di Lie associato a $G$. Ciò viene ottenuto costruendo una mappa $\phi_G$ dal spazio tangente all'identità di $\text{Bis}(G)$ allo spazio delle sezioni di $L(G)$ e provando che essa preserva la struttura del legame di Lie tramite la $\gamma$-relazione dei campi vettoriali.

3. Implicazioni della Globalizzazione (Teorema 5.2, Corollario 5.3, Teorema 5.5, Teorema 5.7):

• Implicazione Diretta: Se un gruppoide di Lie locale $G$ è globalmente associativo (e quindi globalizzabile, assumendo la forte connessione), allora il suo associato gruppo di Lie locale di bisezioni $\text{Bis}(G)$ è anch'esso globalmente associativo e, se connesso, globalizzabile.
• Implicazione Inversa: Sotto la condizione che ogni freccia in $G$ sia contenuta in una bisezione globale, se $\text{Bis}(G)$ è globalmente associativo, allora $G$ è globalmente associativo.
• Risultato di Embedding: Se $G$ è globalizzabile con una globalizzazione $\tilde{G}$, allora $\text{Bis}(G)$ si imbedde come un sottogruppo di Lie locale aperto del gruppo di Lie globale $\text{Bis}(\tilde{G})$. Di conseguenza, la globalizzabilità di $G$ implica la globalizzabilità di $\text{Bis}(G)$.

Significatività e Rivendicazioni
Il saggio rivendica di fornire un rigoroso framework di teoria dei gruppi di Lie a dimensione infinita per i gruppiide di Lie locali, rispecchiando la teoria ben consolidata per i gruppiide di Lie globali. Costruendo la struttura di gruppo di Lie locale sulle bisezioni e collegando la sua algebra di Lie all'algebroide di Lie sottostante, il lavoro estende il "ponte" tra le strutture infinitesimali e globali anche al contesto locale.

La significatività risiede nella caratterizzazione della globalizzabilità: il saggio dimostra che l'ostacolo alla globalizzazione di un gruppoide di Lie locale è intimamente legato all'associatività globale del suo gruppo di bisezioni. In particolare, stabilisce che per i gruppiide di Lie locali fortemente connessi dove ogni freccia giace in una bisezione globale, la globalizzabilità del gruppoide e la globalizzabilità del suo gruppo di bisezioni sono condizioni equivalenti. Questo risultato unifica i problemi di integrazione degli algebroidi di Lie e la teoria strutturale dei gruppi di Lie a dimensione infinita delle bisezioni all'interno del contesto locale.