On the bisections of a local Lie grpoupod

Resumen Técnico: Sobre las Bisecciones de un Grupoide de Lie Local

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la teoría de la integración de los algebros de Lie. Si bien todo algebros de Lie admite una integración local a un grupoide de Lie local (como demostraron Cabrera, Mărcuţ y Salazar), la existencia de una integración a un grupoide de Lie global está obstruida por grupos de monodromía global (Crainic y Fernandes). En consecuencia, los grupoides de Lie locales sirven como el puente natural de lo infinitesimal a lo global. Un problema central en esta teoría es la "globalización": determinar cuándo un grupoide de Lie local puede extenderse a un grupoide de Lie global.

Paralelamente, la teoría de las bisecciones proporciona un vínculo entre los grupoides de Lie y la teoría de los grupos de Lie de dimensión infinita. Schmeding y Wockel establecieron que el espacio de las bisecciones de un grupoide de Lie global posee una estructura de grupo de Lie de dimensión infinita natural. Este artículo investiga la estructura análoga para groupoides de Lie locales, planteando específicamente:

1. ¿Forma el espacio de las biciones admisibles de un grupoide de Lie local un grupo de Lie local?
2. ¿Cuál es la relación entre el álgebra de Lie de este grupo de Lie local y las secciones del algebros de Lie asociado?
3. ¿Cómo se relaciona la globalización de un grupoide de Lie local con la globalización de su grupo de bisecciones de Lie local asociado?

Metodología y Marco de Trabajo
Los autores trabajan dentro del marco de la teoría de las variedades de dimensión infinita, utilizando específicamente espacios vectoriales topológicos localmente convexos y localmente metrizables. El estudio se centra en los groupoides de Lie locales $G$ sobre una variedad compacta $M$ que admiten una adición local adaptada. Esta condición técnica es crucial para construir estructuras de variedad en los espacios de mapas suaves ($C^\infty(M, G)$) y secciones.

La metodología procede a través de los siguientes pasos:

• Construcción del Espacio de Bisecciones: Los autores definen una bisección de un grupoide de Lie local como una sección suave $\sigma: M \to G$ de la aplicación fuente $\alpha$ tal que $\beta \circ \sigma$ es un difeomorfismo. Construyen la estructura de variedad en el espacio de tales bisecciones, denotado como $\text{Bis}(G)$, identificándolo como un subvariedad abierta del espacio de secciones $\Gamma(M \leftarrow_\alpha G)$.
• Definición de la Estructura de Grupo: La multiplicación y la inversión se definen puntualmente utilizando la multiplicación y la inversión locales de $G$, ajustadas por la propiedad de difeomorfismo de las bisecciones.
• Correspondencia del Álgebra de Lie: Se analiza el espacio tangente en la identidad de $\text{Bis}(G)$ para establecer un isomorfismo con el espacio de las secciones del algebros de Lie $L(G)$.
• Análisis de Globalización: El artículo emplea la caracterización de Mal'cev para la globalización de grupos de Lie locales (asociatividad global) y el resultado análogo para los groupoides de Lie locales (establecido por Fernandes, Michiels y Zhang) para derivar las condiciones bajo las cuales la globalización de una estructura implica la otra.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Estructura de Grupo de Lie Local en las Bisecciones (Teorema 1.3 / 3.3):
   El artículo demuestra que, para un grupoide de Lie local localmente convexo y localmente metrizable $G$ sobre una variedad compacta $M$ que admite una adición local adaptada, el conjunto de todas las bisecciones admisibles $\text{Bis}(G)$ forma un grupo de Lie local. La prueba se basa en la suavidad de la aplicación de evaluación y en el hecho de que el espacio de los difeomorfismos es una subvariedad abierta del espacio de los mapas suaves.

2. Isomorfismo del Álgebra de Lie (Teorema 4.3):
   Los autores establecen que el álgebra de Lie del grupo de Lie local $\text{Bis}(G)$ es anti-isomorfo al espacio de las secciones $\Gamma(L(G))$ del algebros de Lie asociado con $G$. Esto se logra construyendo una aplicación $\phi_G$ desde el espacio tangente en la identidad de $\text{Bis}(G)$ hacia las secciones de $L(G)$ y probando que preserva la estructura del bracket de Lie mediante la $\gamma$-relación de los campos vectoriales.

3. Implicaciones de la Globalización (Teorema 5.2, Corolario 5.3, Teorema 5.5, Teorema 5.7):

• Implicación Directa: Si un grupoide de Lie local $G$ es globalmente asociativo (y, por tanto, globalizable, asumiendo conectividad fuerte), entonces su grupo de bisecciones de Lie local asociado $\text{Bis}(G)$ es también globalmente asociativo y, si es conexo, globalizable.
• Implicación Inversa: Bajo la condición de que cada flecha en $G$ está contenida en una bisección global, si $\text{Bis}(G)$ es globalmente asociativo, entonces $G$ es globalmente asociativo.
• Resultado de Inmersión: Si $G$ es globalizable con una globalización $\tilde{G}$, entonces $\text{Bis}(G)$ se inmere en un subgrupo de Lie local abierto del grupo de Lie global $\text{Bis}(\tilde{G})$. En consecuencia, la globalización de $G$ implica la globalización de $\text{Bis}(G)$.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un marco riguroso de la teoría de los grupos de Lie de dimensión infinita para los groupoides de Lie locales, reflejando la teoría bien establecida para los groupoides de Lie globales. Al construir la estructura de grupo de Lie local en las bisecciones y vincular su álgebra de Lie con el algebros de Lie subyacente, el trabajo extiende el "puente" entre las estructuras infinitesimales y globales al contexto local.

La significación radica en la caracterización de la globalización: el artículo demuestra que la obstrucción para globalizar un grupoide de Lie local está íntimamente ligada a la asociatividad global de su grupo de bisecciones. Específicamente, establece que para los groupoides de Lie locales fuertemente conexos donde cada flecha reside en una bisección global, la globalización del grupoide y la globalización de su grupo de bisecciones son condiciones equivalentes. Este resultado unifica los problemas de integración de los algebros de Lie y la teoría estructural de los grupos de Lie de dimensión infinita de las bisecciones dentro del contexto local.