On the bisections of a local Lie grpoupod

技術的要約：局所リー群（Local Lie Groupoid）の双切断について

問題提起
本論文は、リー代数（Lie algebroid）の積分理論を扱っている。すべてのリー代数は、局所的なリー群（local Lie groupoid）への局所的な積分を持つことが示されているが（Cabrera, Mărcuţ, および Salazar による）、大域的なリー群への積分が存在するかどうかは、大域的なモノドロミー群（Crainic および Fernandes による）によって妨げられる。したがって、局所リー群は、無限小から大域への自然な架け橋として機能する。この理論における中心的な問題は「大域化可能性（globalizability）」、すなわち、ある局所リー群がいつ大域的なリー群へと拡張できるかを判定することである。

これと並行して、双切断（bisections）の理論は、リー群と無限次元リー理論との間の繋がりを提供している。Schmeding と Wockel は、大域的なリー群の双切断の空間が、自然な無限次元リー群の構造を持つことを確立した。本論文は、この類似の構造を局所リー群に対して調査し、具体的には以下の問いを立てている：

1. 局所リー群の許容可能な双切断の集合は、局所リー群を形成するか？
2. この局所リー群のリー代数と、付随するリー代数の切断との関係はどのようなものか？
3. 局所リー群の双切断のグローバル化可能性は、その局所リー群のグローバル化可能性とどのように関連しているか？

手法および枠組み
著者らは、無限次元多様体論、特に局所凸かつ局所距離化可能な位相ベクトル空間を利用した枠組みの中で研究を進めている。研究の焦点は、**適応された局所加法（adapted local addition）**を持つコンパクト多様体 $M$ 上の局所リー群 $G$ に置かれている。この技術的な条件は、滑らかな写像の空間（$C^\infty(M, G)$）および切断の空間上に多様体構造を構築するために極めて重要である。

手法は以下のステップを経て進行する：

• 双切断空間の構成： 著者らは、局所リー群の双切断を、源写像 $\alpha$ の滑らかな切断 $\sigma: M \to G$ であり、かつ $\beta \circ \sigma$ が微分同相写像であるものと定義する。彼らは、このような双切断の空間 $\text{Bis}(G)$ 上に多様体構造を構築するために、これを切断の空間 $\Gamma(M \leftarrow_\alpha G)$ の開部分多様体として特定する。
• 群構造の定義： 乗法および逆元は、双切断の微分同相写像の性質によって調整された上で、局所的な乗法および逆元を用いて点ごとに定義される。
• リー代数の対応： $\text{Bis}(G)$ の単位元における接空間を分析し、付随するリー代数 $L(G)$ の切断との同型性を確立する。
• グローバル化の分析： 局所リー群のグローバル化に関する Mal'cev の特徴付け、および局所リー群に関する同様の結果（Fernandes, Michiels, および Zhang による）を用いて、一方の構造のグローバル化可能性が他方のグローバル化可能性を導く条件を導出する。

主要な貢献および結果

1. 双切断上の局所リー群構造 (Theorem 1.3 / 3.3):
   本論文は、適応された局所加法を持つ、コンパクト多様体 $M$ 上の局所凸かつ局所距離化可能な局所リー群 $G$ に対して、すべての許容可能な双切断の集合 $\text{Bis}(G)$ が局所リー群を形成することを証明している。この証明は、評価写像の滑らかさと、微分同相写像の空間が滑らかな写像の空間の開部分多様体であるという事実に依拠している。

2. リー代数の同型性 (Theorem 4.3):
   著者らは、局所リー群 \text \text{Bis}(G)$のリー代数が、付随するリー代数$G$の切断$\Gamma(L(G))$と反同型であることを確立している。これは、$\text{Bis}(G)$の単位元における接空間から$L(G)$の切断への写像$\phi_G$を構成し、ベクトル場の$\gamma$-関連性を通じて、それがリー括弧構造を保存することを証明することによって達成される。

3. グローバル化への含意 (Theorem 5.2, Corollary 5.3, Theorem 5.5, Theorem 5.7):

• 順方向の含意： もし局所リー群 $G$ が大域的に結合的（globally associative）であれば（そして強連結性を仮定すれば大域化可能であれば）、それに付随する局所リー群としての双切断 $\text{Bis}(G)$ もまた大域的に結合的であり、かつ連結であればグローバル化可能である。
• 逆方向の含意： $G$ のすべての矢（arrow）が大域的な双切断に含まれるという条件下では、$\text{Bis}(G)$ が大域的に結合的であれば、$G$ は大域的に結合的である。
• 埋め込み結果： もし $G$ が大域化可能であり、その大域化を $\tilde{G}$ とするならば、$\text{Bis}(G)$ は大域的なリー群 $\text{Bis}(\tilde{G})$ の開な局所リー部分群として埋め込まれる。したがって、$G$ のグローバル化可能性は $\text{Bis}(G)$ のグローバル化可能性を意味する。

意義および主張
本論文は、確立された大域的なリー群の理論を模倣しつつ、局所リー群のための厳密な無限次元リー理論の枠組みを提供することを主張している。局所リー群の双切断の構造を構築し、そのリー代体を基礎となるリー代数に結びつけることで、本研究は「無限小から大域へ」の架け橋を局所的な設定へと拡張している。

その意義は、グローバル化可能性の特性付けにある。本論文は、強連結な局所リー群において、すべての矢が大域的な双切断に含まれる場合、リー群のグローバル化可能性と、その双切断群のグローバル化可能性は同値であることを示している。具体的には、リー代数の積分問題と、双切断による無限次元リー群の構造理論が、局所的な文脈において統一されることを確立している。