On the bisections of a local Lie grpoupod

Résumé technique : Sur les bisections d'un groupoïde de Lie local

Énoncé du problème
L'article traite de la théorie de l'intégration des algèbres de Lie. Bien que toute algèbre de Lie admette une intégration locale en un groupoïde de Lie local (comme le montrent Cabrera, Mărcuţ et Salazar), l'existence d'une intégration en un groupoïde de Lie global est entravée par des groupes de monodromie globaux (Crainic et Fernandes). Par conséquent, les groupoïdes de Lie locaux servent de pont naturel entre l'infinitésimal et le global. Un problème central de cette théorie est la « globalisabilité » : déterminer quand un groupoïde de Lie local peut être étendu à un groupoïde de Lie global.

Parallèlement, la théorie des bisections fournit un lien entre les groupoïdes de Lie et la théorie des groupes de Lie de dimension infinie. Schmeding et Wockel ont établi que l'espace des bisections d'un groupoïde de Lie global possède une structure naturelle de groupe de Lie de dimension infinie. Cet article étudie la structure analogue pour les groupoïdes de Lie locaux, en posant précisément les questions suivantes :

1. L'espace des bisections admissibles d'un groupoïde de Lie local forme-t-il un groupe de Lie local ?
2. Quelle est la relation entre l'algèbre de Lie de ce groupe de Lie local et les sections de l'algèbre de Lie associée ?
3. Comment la globalisabilité d'un groupoïde de Lie local est-elle liée à la globalisabilité de son groupe de bisections local associé ?

Méthodologie et cadre
Les auteurs travaillent dans le cadre de la théorie des variétés de dimension infinie, utilisant spécifiquement des espaces vectoriels topologiques localement convexes et localement métrisables. L'étude se concentre sur les groupoïdes de Lie locaux $G$ sur une variété compacte $M$ qui admet une addition locale adaptée. Cette condition technique est cruciale pour construire les structures de variétés sur les espaces de cartes lisses ($C^\infty(M, G)$) et de sections.

La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

• Construction de l'espace des bisections : Les auteurs définissent une bisection d'un groupoïde de Lie local comme une section lisse $\sigma: M \to G$ de la morphisme source $\alpha$ telle que $\beta \circ \sigma$ est un difféomorphisme. Ils construisent la structure de variété sur l'espace de ces bisections, noté $\text{Bis}(G)$, en l'identifiant comme un sous-manifold ouvert de l'espace des sections $\Gamma(M \leftarrow_\alpha G)$.
• Définition de la structure de groupe : La multiplication et l'inversion sont définies point par point en utilisant la multiplication et l'inversion locales de $G$, ajustées par la propriété de difféomorphisme des bisections.
• Correspondance de l'algèbre de Lie : L'espace tangent à l'identité de $\text{Bis}(G)$ est analysé pour établir un isomorphisme avec l'espace des sections de l'algèbre de Lie $L(G)$.
• Analyse de la globalisabilité : L'article emploie la caractérisation de Mal'cev pour la globalisabilité des groupes de Lie locaux (associativité globale) et le résultat analogue pour les groupoïdes de Lie locaux (établi par Fernandes, Michiels et Zhang) pour dériver les conditions sous lesquelles la globalisabilité d'une structure implique celle de l'autre.

Contributions clés et résultats

1. Structure de groupe de Lie local sur les bisections (Théorème 1.3 / 3.3) :
   L'article prouve que pour un groupoïde de Lie local localement convexe et localement métrisable $G$ sur une variété compacte $M$ admettant une addition locale adaptée, l'ensemble de toutes les bisections admissibles $\text{Bis}(G)$ forme un groupe de Lie local. La preuve repose sur la lissité de l'application d'évaluation et sur le fait que l'espace des difféomorphismes est un sous-manifold ouvert de l'espace des applications lisses.

2. Isomorphisme d'algèbre de Lie (Théorème 4.3) :
   Les auteurs établissent que l'algèbre de Lie du groupe de Lie local $\text{Bis}(G)$ est anti-isomorphe à l'espace des sections $\Gamma(L(G))$ de l'algèbre de Lie associée à $G$. Ceci est réalisé en construisant une application $\phi_G$ de l'espace tangent à l'identité de $\text{Bis}(G)$ vers les sections de $L(G)$ et en prouvant qu'elle préserve la structure du crochet de Lie via la $\gamma$-relation des champs de vecteurs.

3. Implications de la globalisabilité (Théorème 5.2, Corollaire 5.3, Théorème 5.5, Théorème 5.7) :

   • Implication directe : Si un groupoïde de Lie local $G$ est globalement associatif (et donc globalisable, en supposant la connexité forte), alors son groupe de Lie local de bisections associé $\text{Bis}(G)$ est également globalement associatif et, s'il est connexe, globalisable.
   • Implication réciproque : Sous la condition que chaque flèche dans $G$ soit contenue dans une bisection globale, si $\text{Bis}(G)$ est globalement associatif, alors $G$ est globalement associatif.
   • Résultat d'immersion : Si $G$ est globalisable avec une globalisation $\tilde{G}$, alors $\text{Bis}(G)$ s'immerge comme un sous-groupe de Lie local ouvert du groupe de Lie global $\text{Bis}(\tilde{G})$. Par conséquent, la globalisabilité de $G$ implique la globalisabilité de $\text{Bis}(G)$.

Signification et revendications
L'article prétend fournir un cadre rigoureux de la théorie des groupes de Lie de dimension infinie pour les groupoïdes de Lie locaux, reflétant la théorie bien établie pour les groupoïdes de Lie globaux. En construisant la structure de groupe de Lie local sur les bisections et en liant son algèbre de Lie à l'algèbre de Lie sous-jacente, ce travail étend le « pont » entre les structures infinitésimales et globales au cadre local.

La signification réside dans la caractérisation de la globalisabilité : l'article démontre que l'obstacle à la globalisation d'un groupoïde de Lie local est intimement lié à l'associativité globale de son groupe de bisections. Plus précisément, il établit que pour les groupoïdes de Lie locaux fortement connexes où chaque flèche appartient à une bisection globale, la globalisabilité du groupoïde et la globalisabilité de son groupe de bisections sont des conditions équivalentes. Ce résultat unifie les problèmes d'intégration des algèbres de Lie et la théorie structurelle des groupes de Lie de dimension infinie des bisections au sein du contexte local.