On the bisections of a local Lie grpoupod

Resumo Técnico: Sobre as Bisseções de um Grupoide de Lie Local

Enunciado do Problema
O artigo aborda a teoria de integração de algebros de Lie. Embora todo algebro de Lie admita uma integração local para um grupoide de Lie local (como mostrado por Cabrera, Mărcuţ e Salazar), a existência de uma integração para um grupoide de Lie global é obstruída por grupos de monodromia globais (Crainic e Fernandes). Consequentemente, os grupoides de Lie locais servem como a ponte natural entre o infinitesimal e o global. Um problema central nesta teoria é a "globalização": determinar quando um grupoide de Lie local pode ser estendido para um grupoide de Lie global.

Paralelamente, a teoria das bisseções fornece um elo entre os grupoides de Lie e a teoria de Lie de dimensão infinita. Schmeding e Wockel estabeleceram que o espaço das bisseções de um grupoide de Lie global carrega uma estrutura natural de grupo de Lie de dimensão infinita. Este artigo investiga a estrutura análoga para grupoides de Lie locais, questionando especificamente:

1. O espaço das bisseções admissíveis de um grupoide de Lie local forma um grupo de Lie local?
2. Qual é a relação entre o algebro de Lie deste grupo de Lie local e as seções do algebro de Lie associado?
3. Como a globalização de um grupoide de Lie local se relaciona com a globalização do seu grupo de Lie local de bisseções?

Metodologia e Estrutura
Os autores trabalham dentro do arcabouço da teoria de variedades de dimensão infinita, utilizando especificamente espaços vetoriais topológicos localmente convexos e localmente metrizáveis. O estudo foca em grupoides de Lie locais $G$ sobre uma variedade compacta $M$ que admitem uma adição local adaptada. Esta condição técnica é crucial para construir estruturas de variedade nos espaços de mapas suaves ($C^\infty(M, G)$) e seções.

A metodologia procede através dos seguintes passos:

• Construção do Espaço de Bisseções: Os autores definem uma bisseção de um grupoide de Lie local como uma seção suave $\sigma: M \to G$ da aplicação fonte $\alpha$, tal que $\beta \circ \sigma$ é um difeomorfismo. Eles constroem a estrutura de variedade no espaço de tais bisseções, denotado por $\text{Bis}(G)$, identificando-o como uma subvariedade aberta do espaço de seções $\Gamma(M \leftarrow_\alpha G)$.
• Definição da Estrutura de Grupo: A multiplicação e a inversão são definidas pontualmente usando a multiplicação e a inversão locais de $G$, ajustadas pela propriedade de difeomorfismo das bisseções.
• Correspondência do Algebro de Lie: O espaço tangente na identidade de $\text{Bis}(G)$ é analisado para estabelecer um isomorfismo com o espaço das seções do algebro de Lie $L(G)$.
• Análise de Globalização: O artigo emprega a caracterização de Mal'cev para a globalização de grupos de Lie locais (associatividade global) e o resultado análogo para grupoides de Lie locais (estabelecido por Fernandes, Michiels e Zhang) para derivar condições sob as quais a globalização de uma estrutura implica a outra.

Principais Contribuições e Resultados

1. Estrutura de Grupo de Lie Local nas Bisseções (Teorema 1.3 / 3.3):
   O artigo prova que, para um grupoide de Lie local localmente convexo e localmente metrizável $G$ sobre uma variedade compacta $M$ que admite uma adição local adaptada, o conjunto de todas as bisseções admissíveis $\text{Bis}(G)$ forma um grupo de Lie local. A prova baseia-se na suavidade da aplicação de avaliação e no fato de que o espaço dos difeomorfismos é uma subvariedade aberta do espaço de mapas suaves.

2. Isomorfismo de Algebros de Lie (Teorema 4.3):
   Os autores estabelecem que o algebro de Lie do grupo de Lie local $\text{Bis}(G)$ é anti-isomorfo ao espaço das seções $\Gamma(L(G))$ do algebro de Lie associado a $G$. Isso é alcançado construindo uma aplicação $\phi_G$ do espaço tangente na identidade de $\text{Bis}(G)$ para as seções de $L(G)$ e provando que ela preserva a estrutura do colchete via $\gamma$-relacionamento de campos vetoriais.

3. Implicações de Globalização (Teorema 5.2, Corolário 5.3, Teorema 5.5, Teorema 5.7):

   • Implicação Direta: Se um grupoide de Lie local $G$ é globalmente associativo (e, portanto, globalizável, assumindo conectividade forte), então o seu grupo de Lie local de bisseções associado $\text{Bis}(G)$ também é globalmente associativo e, se conexo, globalizável.
   • Implicação Reversa: Sob a condição de que cada seta em $G$ está contida em uma bisseção global, se $\text{Bis}(G)$ é globalmente associativo, então $G$ é globalmente associativo.
   • Resultado de Mergulho: Se $G$ é globalizável com uma globalização $\tilde{G}$, então $\text{Bis}(G)$ mergulha como um subgrupo de Lie local aberto do grupo de Lie global $\text{Bis}(\tilde{G})$. Consequentemente, a globalização de $G$ implica a globalização de $\text{Bis}(G)$.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer um arcabouço rigoroso de teoria de Lie de dimensão infinita para grupoides de Lie locais, espelhando a teoria bem estabelecida para grupoides de Lie globais. Ao construir a estrutura de grupo de Lie local nas bisseções e ligar o seu algebro de Lie às seções do algebro de Lie subjacente, o trabalho estende a "ponte" entre estruturas infinitesimais e globais para o contexto local.

A significância reside na caracterização da globalização: o artigo demonstra que a obstrução para globalizar um grupoide de Lie local está intimamente ligada à associatividade global do seu grupo de bisseções. Especificamente, estabelece que, para os grupoides de Lie locais fortemente conexos onde cada seta pertence a uma bisseção global, a globalização do grupoide e a globalização do seu grupo de bisseções são condições equivalentes. Este resultado unifica os problemas de integração de algebros de Lie e a teoria estrutural de grupos de Lie de dimensão infinita de bisseções dentro do contexto local.