Construction of Generically Ordinary Families of Hyperelliptic Curves

Sintesi Tecnica: Costruzione di Famiglie Genericamente Ordinarie di Curve Iperellittiche

Enunciato del Problema
Il saggio affronta una congettura posta da Katz (2018) riguardante l'ordinarietà generica di specifiche famiglie monodimensionali di curve iperellittiche sulla retta $t$. Una curva proiettiva liscia $C$ di genere $g$ su un campo di caratteristica $p > 0$ si definisce ordinaria se il coefficiente centrale del numeratore della sua funzione zeta è coprimo con $p$. Equivalentemente, la Jacobiana di $C$ è una varietà abeliana ordinaria, caratterizzata da un poligono di Newton con soli pendii 0 e 1. Tale condizione è rilevata dal non annullamento del determinante della matrice di Hasse–Witt (o matrice di Cartier–Manin).

Katz ha congetturato che la famiglia di curve definite da $K: y^2 = x^d - dx + t$ (dove $d \in \{2g+1, 2g+2\}$ e $g \ge 2$) sia genericamente ordinaria per tutti i primi $p$ sufficientemente grandi. Sebbene la famiglia possieda una "grande monodromia" (indice finito in $Sp_{2g}(\mathbb{Z})$), era noto che fallisse l'ordinarietà generica per primi piccoli. Il problema specifico è stabilire un limite quadratico $P^+(d)$ tale che per ogni $p > P^+(d)$, la famiglia sia genericamente ordinaria, e generalizzare questo risultato alle famiglie della forma $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ per ogni $\alpha$ algebrico intero non nullo.

Metodologia
La strategia di prova si basa sull'analisi della matrice di Hasse–Witt associata alla famiglia $C_\alpha$ e nel dimostrare che il suo determinante (il polinomio di Hasse–Witt) non si annulla identicamente modulo $p$ per $p$ sufficientemente grandi.

1. Costruzione del Polinomio di Hasse–Witt:
   Gli autori definiscono una matrice di coefficienti $(M_{ij}(X, Y))_{1 \le i,j \le g}$ su $\mathbb{Z}[X, Y]$, dove $M_{ij}$ è il coefficiente di $x^{pi-j}$ nell'espansione di $(x^d + Xx + Y)^{(p-1)/2}$. Il polinomio determinante di Hasse–Witt è definito come $H_{p,\alpha}(Y) = \det(M_{ij}(\alpha, Y))$. La fibra generica è ordinaria se e solo se questo polinomio è non nullo modulo $p$.

2. Analisi del Termine Principale:
   Per dimostrare $H_{p,\alpha}(Y) \not\equiv 0 \pmod p$, gli autori analizzano il termine principale del polinomio. Identificano un grado specifico $E$ e dimostrano che il coefficiente principale è della forma $\alpha^m u_p \Delta_p$, dove:

   • $m$ è un intero non negativo.
   • $u_p$ è un prodotto di coefficienti binomiali coprimi con $p$.
   • $\Delta_p$ è un determinante che coinvolge i coefficienti binomiali $\binom{(p-1)/2 - Q_i}{s_i - j}$, dove $s_i$ sono i residui di $pi \pmod d$.

3. Riduzione a un Determinante Binomiale:
   L'innovazione tecnica centrale è la riduzione di $\Delta_p$ modulo $p$ a un determinante razionale costante $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ indipendente da $p$. Utilizzando la congruenza $(p-1)/2 - Q_i \equiv \beta_i \pmod p$ (dove $\beta_i = s_i \frac{d-1}{2}$), dimostrano che $\Delta_p \equiv \Delta(s_1, \dots, s_g) \pmod p$.

4. Formula Prodotto e Limiti dei Fattori Primi:
   Gli autori derivano una formula prodotto esplicita per il determinante $\Delta$ riducendolo a un determinante di tipo Vandermonde. Questa formula coinvolge fattori della forma $(k - \lambda_r)$ e coefficienti binomiali.

   • Lemma 2.1 & 2.2: Stabiliscono che determinati parametri razionali $\lambda_r$ non sono interi, garantendo che il determinante sia ben definito e non nullo.
   • Lemma 2.6: Fondamentalmente, gli autori dimostrano che ogni fattore primo del numeratore e del denominatore della formula prodotto per $\Delta$ è limitato da $P^+(d)$. Ciò viene ottenuto analizzando la funzione $h(x, y) = (2d-2)x - 2dy - d$ su regioni reticolari specifiche $U$ e $V$.

5. Non Annullamento Modulo $p$:
   Per ogni numero primo $p > P^+(d)$, il determinante $\Delta$ è un'unità $p$-adica (non nullo modulo $p$). Di conseguenza, il coefficiente principale di $H_{p,\alpha}(Y)$ è non nullo modulo $p$ (a condizione che $\alpha \not\equiv 0 \pmod p$), garantendo che il polinomio stesso sia non nullo.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema 1.3: Il saggio dimostra che per ogni genere $g \ge 2$ e per ogni algebrico intero non nullo $\alpha$, la famiglia $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ (con $d \in \{2g+1, 2g+2\}$) è genericamente ordinaria per ogni primo $p > P^+(d)$, a condizione che $p$ non divida il norma di $\alpha$.
  • Il limite è definito come:
    $$P^+(d) = \begin{cases} d^2 - 4d + 2 & \text{se } d \text{ è dispari} \\ (d^2 - 3d + 2)/2 & \text{se } d \text{ è pari} \end{cases}$$
• Risoluzione della Congettura di Katz: Come corollario diretto (Corollario 4.2), il saggio conferma la congettura di Katz del 2018 per la specifica famiglia $K$ (dove $\alpha = -d$) per tutti i $p > P^+(d)$.
• Generalizzazione a Famiglie a Due Parametri: Il Corollario 4.3 estende il risultato alla famiglia a due parametri $y^2 = x^d + sx + t$ sul piano affine, mostrando che essa è genericamente ordinaria per $p > P^+(d)$.
• Raffinatezza per $p \equiv 1 \pmod d$: Il Corollario 4.5 mostra che se $p \equiv 1 \pmod d$, la famiglia è genericamente ordinaria per tutti i $p$ (senza il limite $P^+(d)$), poiché il determinante $\Delta_p$ diventa 1 in questo caso.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di risolvere la congettura di Katz per tutti i $g \ge 2$. Il significato risiede nel superare i risultati precedenti (come le famiglie di Miller, dove la matrice dei coefficienti è monomiale) per gestire famiglie in cui la matrice di Hasse–Witt è generalmente non-monomiale e contiene molti termini non nulli. Gli autori osservano che il loro approccio richiede un "approccio differente e nuovo" perché il determinante non si riduce a un singolo prodotto.

Il lavoro stabilisce un limite quadratico concreto $P^+(d)$ per l'ordinarietà generica. Gli autori notano che questo limite è stretto in certi casi: i dati forniti da Katz mostrano che l'ordinarietà generica fallisce per $p = P^+(d)$ in istanze specifiche (ad esempio, $(d, p) = (21, 359)$), indicando che il limite non può essere indebolito a $p \ge P^+(d)$ in generale.

Il saggio colloca i propri risultati all'interno della tradizione di Miller (1972) e dello studio della grande monodromia nei loci iperellittici, confermando che il locus ordinario è non vuoto e denso per queste famiglie per primi grandi.