Construction of Generically Ordinary Families of Hyperelliptic Curves

Technische Samenvatting: Constructie van Generiek Ordinaire Families van Hyperelliptische Curven

Probleemstelling
Het artikel behandelt een conjectuur geformuleerd door Katz (2018) met betrekking tot de generieke ordinariteit van specifieke een-parameter families van hyperelliptische curven over de $t$-lijn. Een glad projectieve curve $C$ van genus $g$ over een lichaam met karakteristiek $p > 0$ wordt ordinair genoemd als de middelste coëfficiënt van de teller van de zetafunctie niet deelbaar is door $p$. Equivalent hiervoor is dat de Jacobiaan van $C$ een ordinaire abelse variëteit is, gekenmerkt door een Newton-polytoop met enkel hellingen 0 en 1. Deze conditie wordt gedetecteerd door de niet-verdwijning van de determinant van de Hasse–Witt-matrix (of de Cartier–Manin-matrix).

Katz conjectureerde dat de familie van curven gedefinieerd door $K: y^2 = x^d - dx + t$ (waarbij $d \in \{2g+1, 2g+2\}$ en $g \ge 2$) generiek ordinaal is voor alle voldoende grote priemgetallen $p$. Hoewel de familie beschikt over "grote monodromie" (eindige index in $Sp_{2g}(\mathbb{Z})$), was bekend dat deze faalde in generieke ordinariteit voor kleine priemgetallen. De specifieke opdracht is om een kwadratische bovengrens $P^+(d)$ vast te stellen zodanig dat de familie voor alle $p > P^+(d)$ generiek ordinaal is, en dit resultaat te generaliseren naar families van de vorm $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ voor elke niet-nul algebraïsche gehele getal $\alpha$.

Methodologie
De bewijsstrategie berust op het analyseren van de Hasse–Witt-matrix geassocieerd met de familie $C_\alpha$ en het aantonen dat de determinant ervan (de Hasse–Witt-polynoom) niet identiek nul is modulo $p$ voor voldoende grote $p$.

1. Constructie van de Hasse–Witt-polynoom:
   De auteurs definiëren een coëfficiëntmatrix $(M_{ij}(X, Y))_{1 \le i,j \le g}$ over $\mathbb{Z}[X, Y]$, waarbij $M_{ij}$ de coëfficiënt is van $x^{pi-j}$ in de expansie van $(x^d + Xx + Y)^{(p-1)/2}$. De Hasse–Witt-determinantpolynoom wordt gedefinieerd als $H_{p,\alpha}(Y) = \det(M_{ij}(\alpha, Y))$. De generieke vezel is ordinaal dan en slechts als deze polynoom niet identisch nul is modulo $p$.

2. Analyse van de Leidende Term:
   Om $H_{p,\alpha}(Y) \not\equiv 0 \pmod p$ te bewijzen, analyseren de auteurs de leidende term van de polynoom. Zij identificeren een specifieke graad $E$ en tonen aan dat de leidende coëfficiënt van de vorm $\alpha^m u_p \Delta_p$ is, waarbij:

   • $m$ een niet-negatief geheel getal is.
   • $u_p$ een product is van binomiale coëfficiënten die copriem zijn aan $p$.
   • $\Delta_p$ een determinant is die betrokken is bij binomiale coëfficiënten $\binom{(p-1)/2 - Q_i}{s_i - j}$, waarbij $s_i$ residuen zijn van $pi \pmod d$.

3. Reductie tot een Binomiale Determinant:
   De kern van de technische innovatie is de reductie van $\Delta_p$ modulo $p$ tot een constante rationale determinant $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ die onafhankelijk is van $p$. Gebruikmakend van de congruentie $(p-1)/2 - Q_i \equiv \beta_i \pmod p$ (waarbij $\beta_i = s_i \frac{d-1}{2}$), tonen zij aan dat $\Delta_p \equiv \Delta(s_1, \dots, s_g) \pmod p$.

4. Productformule en Grens voor Priemfactoren:
   De auteurs leiden een expliciete productformule af voor de determinant $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ door deze te reduceren tot een Vandermonde-type determinant. Deze formule bevat factoren van de vorm $(k - \lambda_r)$ en binomiale coëfficiënten.

   • Lemma 2.1 & 2.2: Stellen vast dat bepaalde rationale parameters $\lambda_r$ geen gehele getallen zijn, wat garandeert dat de determinant goed gedefinieerd en niet nul is.
   • Lemma 2.6: Cruciaal bewijzen de auteurs dat elke priemfactor van de teller en noemer van de productformule voor $\Delta$ begrensd wordt door $P^+(d)$. Dit wordt bereikt door de functie $h(x, y) = (2d-2)x - 2dy - d$ te analyseren over specifieke roostergebieden $U$ en $V$.

5. Niet-verdwijning Modulo $p$:
   Voor elk priemgetal $p > P^+(d)$ is de determinant $\Delta$ een $p$-adische eenheid (niet nul modulo $p$). Bijgevolg is de leidende coëfficiënt van $H_{p,\alpha}(Y)$ niet nul modulo $p$ (mits $\alpha \not\equiv 0 \pmod p$), hetgeen verzekert dat de polynoom zelf niet nul is.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Stelling 1.3: Het artikel bewijst dat voor elke genus $g \ge 2$ en elk niet-nul algebraïsch gehele getal $\alpha$, de familie $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ (met $d \in \{2g+1, 2g+2\}$) generiek ordinaal is voor elk priemgetal $p > P^+(d)$, mits $p$ de norm van $\alpha$ niet deelt.
  • De bovengrens wordt gedefinieerd als:
    $$P^+(d) = \begin{cases} d^2 - 4d + 2 & \text{indien } d \text{ oneven is} \\ (d^2 - 3d + 2)/2 & \text{indien } d \text{ even is} \end{cases}$$
• Resolutie van de Conjectuur van Katz: Als direct gevolg (Corollary 4.2) bevestigt het artikel de 2018-conjectuur van Katz voor de specifieke familie $K$ (waarbij $\alpha = -d$) voor alle $p > P^+(d)$.
• Generalisatie naar Twee-parameter Families: Corollary 4.3 breidt het resultaat uit naar de twee-parameter familie $y^2 = x^d + sx + t$ over de affiene vlak, waarbij wordt aangetoond dat deze generiek ordinaal is voor $p > P^+(d)$.
• Verfijning voor $p \equiv 1 \pmod d$: Corollary 4.5 toont aan dat als $p \equiv 1 \pmod d$, de familie generiek ordinaal is voor alle $p$ (zonder de $P^+(d)$ bovengrens), aangezien de determinant $\Delta_p$ in dit geval 1 wordt.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert de conjectuur van Katz voor alle $g \ge 2$ te hebben opgelost. De betekenis ligt in het feit dat er verder wordt gegaan dan eerdere resultaten (zoals die van Miller, waarbij de coëfficiëntmatrix monomial is) om families te behandelen waar de Hasse–Witt-matrix over het algemeen niet-monomial is en veel niet-nul termen bevat. De auteurs merken op dat hun benadering een "andere en nieuwe aanpak" vereist omdat de determinant niet reduceert tot een enkele productvorm.

Het werk stelt een concrete, kwadratische bovengrens $P^+(d)$ vast voor generieke ordinariteit. De auteurs merken op dat deze bovengrens in bepaalde gevallen scherp is: gegevens verstrekt door Katz laten zien dat generieke ordinariteit faalt voor $p = P^+(d)$ in specifieke gevallen (bijv. $(d, p) = (21, 359)$), wat aangeeft dat de bovengrens in het algemeen niet kan worden verzwakt naar $p \ge P^+(d)$.

Het artikel plaatst zijn resultaten binnen de traditie van Miller (1972) en de studie van grote monodromie in hyperelliptische loci, en bevestigt dat de ordinaire locus niet-leeg en dicht is voor deze families bij grote priemgetallen.