Construction of Generically Ordinary Families of Hyperelliptic Curves

技術要約：広義的な通常の超楕円曲線族の構成

問題設定
本論文は、$t$ 線上の特定の1パラメータの超楕円曲線族に関する Katz (2018) の予想（Katz's conjecture）を取り上げている。標数 $p > 0$ の体上の種数 $g$ の滑らかな射影曲線 $C$ は、そのゼータ関数の分子の中央係数が $p$ と互いに素であるとき、「通常（ordinary）」であると定義される。これに等価な表現として、$C$ のヤコビ多様体は通常のアーベル多様体であり、これはニュートン図形がスロープ 0 と 1 のみを持つことによって特徴付けられる。この条件は、ハッセ・ヴィット行列（またはカルティエ・マネン行列）の行列式の非消滅によって検出される。

Katz は、曲線 $K: y^2 = x^d - dx + t$ （ここで $d \in \{2g+1, 2g+2\}$ かつ $g \ge 2$）からなる族が、十分大きなすべての素数 $p$ に対して広義的に通常であることを予想した。この族は「大きなモノドロミー（large monodromy）」（$Sp_{2g}(\mathbb{Z})$ 内で有限指数）を持つが、小さな素数においては広義的な通常性が成立しないことが知られていた。具体的な問題は、すべての $p > P^+(d)$ に対して当該の族が広義的に通常となるような、二次的な境界 $P^+(d)$ を確立することである。また、この結果を、任意の非ゼロの代数的整数 $\alpha$ に対する族 $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ へと一般化することである。

手法
証明戦略は、族 $C_\alpha$ に付随するハッセ・ヴィット行列を分析し、その行列式（ハッセ・ヴィット多項式）が十分大きな $p$ に対して $\pmod p$ で恒等的に消滅しないことを示すことに依拠している。

1. ハッセ・ヴィット多項式の構成:
   著者らは、$\mathbb{Z}[X, Y]$ 上の係数行列 $(M_{ij}(X, Y))_{1 \le i,j \le g}$ を定義する。ここで $M_{ij}$ は、$(x^d + Xx + Y)^{(p-1)/2}$ の展開における $x^{pi-j}$ の係数である。ハッセ・ヴィット行列式多項式は $H_{p,\alpha}(Y) = \det(M_{ij}(\alpha, Y))$ として定義される。生成ファイバーが通常であるための必要十分条件は、この多項式が $\pmod p$ でゼロではないことである。

2. 主項の分析:
   $H_{p,\alpha}(Y) \not\equiv 0 \pmod p$ を証明するために、著者らは多項式の主項を分析する。彼らは特定の次数 $E$ を特定し、その主係数が $\alpha^m u_p \Delta_p$ という形式であることを示す。ここで：

• $m$ は非負の整数である。
• $u_p$ は $p$ と互いに素な二項係数の積である。
• $\Delta_p$ は、二項係数 $\binom{(p-1)/2 - Q_i}{s_i - j}$ を含む行列式である（ただし $s_i$ は $pi \pmod d$ の剰余）。

3. 二項行列式への帰着:
   $\Delta_p$ を $p$ に関して定数となる有理行列式 $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ へと $\pmod p$ で帰着させることは、本研究の核心的な技術的革新である。合同式 $(p-1)/2 - Q_i \equiv \beta_i \pmod p$ （ここで $\beta_i = s_i \frac{d-1}{2}$）を用いることで、$\Delta_p \equiv \Delta(s_1, \dots, s_g) \pmod p$ であることを示す。

4. 積公式と素因数境界:
   著者らは、ヴァンデルモンド型の行列式へと帰着させることにより、行列式 $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ の明示的な積公式を導出する。この公式は、$(k - \lambda_r)$ という因子や二項係数を含む。

• 補題 2.1 & 2.2: 特定の有理パラメータ $\lambda_r$ が非整数であることを確立し、行列式がウェルディファインド（well-defined）かつ非ゼロであることを保証する。
• 補題 2.6: 極めて重要な点として、積公式の分子および分母のすべての素因数が $P^+(d)$ によって抑えられることを、特定の格子領域 $U$ および $V$ 上の関数 $h(x, y) = (2d-2)x - 2dy - d$ を分析することで証明する。

5. $\pmod p$ での非消滅:
   任意の素数 $p > P^+(d)$ に対して、行列式 $\Delta$ は $p$ 進単元（$\pmod p$ で非ゼロ）である。したがって、$\alpha \not\equiv 0 \pmod p$ である限り、$H_{p,\alpha}(Y)$ の主係数は $\pmod p$ で非ゼロとなり、多項式自体が非ゼロであることを保証する。

主な貢献と結果

• 定理 1.3: 本論文は、すべての種数 $g \ge 2$ およびすべての非ゼロの代数的整数 $\alpha$ に対して、族 $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ （$d \in \{2g+1, 2g+2\}$）が、$p$ が $\alpha$ のノルムを割り切らない限り、すべての素数 $p > P^+(d)$ で広義的に通常であることを証明している。
  • 境界は以下のように定義される：
    $$P^+(d) = \begin{cases} d^2 - 4d + 2 & \text{if } d \text{ is odd} \\ (d^2 - 3d + 2)/2 & \text{if } d \text{ is even} \end{cases}$$
• Katz の予想の解決: 直接的な系（系 4.2）として、本論文は特定の族 $K$（$\alpha = -d$ の場合）について、すべての $p > P^+(d)$ で Katz (2018) の予想を裏付ける。
• 二パラメータ族への一般化: 系 4.3 は、この結果をアフィン平面上の二パラメータ族 $y^2 = x^d + sx + t$ へと拡張し、それが $p > P^+(d)$ で広義的に通常であることを示している。
• $p \equiv 1 \pmod d$ の場合の精緻化: 系 4.5 は、$p \equiv 1 \pmod d$ である場合、行列式 $\Delta_p$ がこの場合 1 となるため、境界 $P^+(d)$ を考慮せずとも、当該の族がすべての $p$ で広義的に通常であることを示している。

意義と主張
本論文は、すべての $g \ge 2$ について Katz の予想を解決したと主張している。その意義は、行列が単項式（monomial）である Miller (1972) の家族を超えて、ハッセ・ヴィット行列が一般に非単項式であり、多くの非ゼロ成分を含む家族を扱う点にある。著者らは、行列式が単一の積に還元されないため、「異なり、かつ新しいアプローチ」が必要であったと述べている。

本研究は、広義的な通常性に対して具体的な二次的な境界 $P^+(d)$ を確立した。著者らは、この境界が特定のケースにおいてシャープ（sharp）であることを指摘している。Katz が提供したデータによれば、特定の事例（例：$(d, p) = (21, 359)$）において $p = P^+(d)$ で広義的な通常性が成立しないことから、境界を一般に $p \ge P^+(d)$ へと弱めることはできないことが示唆されている。

本論文は、Miller (1972) の伝統および超楕円軌道における大きなモノドロミーの研究の中に自らの結果を位置づけ、これらの族において通常な軌道（ordinary locus）が、大きな素数において空ではなく、かつ稠密であることを確認している。