Construction of Generically Ordinary Families of Hyperelliptic Curves

Resumo Técnico: Construção de Famílias Genericamente Ordinárias de Curvas Hiperelípticas

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma conjectura proposta por Katz (2018) sobre a ordinaridade genérica de famílias específicas de curvas hiperelípticas de um parâmetro sobre a reta $t$. Uma curva projetiva suave $C$ de gênero $g$ sobre um corpo de característica $p > 0$ é definida como ordinária se o coeficiente médio do numerador da sua função zeta for primo a $p$. Equivalentemente, o Jacobiano de $C$ é uma variedade abeliana ordinária, caracterizada por um polígono de Newton com apenas inclinações 0 e 1. Esta condição é detectada pelo não desaparecimento do determinante da matriz de Hasse–Witt (ou matriz de Cartier–Manin).

Katz conjecturou que a família de curvas definida por $K: y^2 = x^d - dx + t$ (onde $d \in \{2g+1, 2g+2\}$ e $g \ge 2$) é genericamente ordinária para todos os primos suficientemente grandes $p$. Embora a família possua "grande monodromia" (índice finito em $Sp_{2g}(\mathbb{Z})$), sabia-se que ela falhava na ordinaridade genérica para primos pequenos. O problema específico é estabelecer um limite quadrático $P^+(d)$ tal que, para todo $p > P^+(d)$, a família seja genericamente ordinária, e generalizar este resultado para famílias da forma $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ para qualquer inteiro algébrico não nulo $\alpha$.

Metodologia
A estratégia de prova baseia-se na análise da matriz de Hasse–Witt associada à família $C_\alpha$ e na demonstração de que seu determinante (o polinômio de Hasse–Witt) não desaparece identicamente módulo $p$ para $p$ suficientemente grande.

1. Construção do Polinômio de Hasse–Witt:
   Os autores definem uma matriz de coeficientes $(M_{ij}(X, Y))_{1 \le i,j \le g}$ sobre $\mathbb{Z}[X, Y]$, onde $M_{ij}$ é o coeficiente de $x^{pi-j}$ na expansão de $(x^d + Xx + Y)^{(p-1)/2}$. O polinômio determinante de Hasse–Witt é definido como $H_{p,\alpha}(Y) = \det(M_{ij}(\alpha, Y))$. A fibra genérica é ordinária se, e somente se, este polinômio for não nulo módulo $p$.

2. Análise do Termo Principal:
   Para provar que $H_{p,\alpha}(Y) \not\equiv 0 \pmod p$, os autores analisam o termo principal do polinômio. Eles identificam um grau específico $E$ e mostram que o coeficiente principal é da forma $\alpha^m u_p \Delta_p$, onde:

   • $m$ é um inteiro não negativo.
   • $u_p$ é um produto de coeficientes binomiais coprimos a $p$.
   • $\Delta_p$ é um determinante envolvendo coeficientes binomiais $\binom{(p-1)/2 - Q_i}{s_i - j}$, onde $s_i$ são resíduos de $pi \pmod d$.

3. Redução a um Determinante Binomial:
   A inovação técnica central é a redução de $\Delta_p$ módulo $p$ a um determinante racional constante $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ independente de $p$. Usando a congruência $(p-1)/2 - Q_i \equiv \beta_i \pmod p$ (onde $\beta_i = s_i \frac{d-1}{2}$), eles mostram que $\Delta_p \equiv \Delta(s_1, \dots, s_g) \pmod p$.

4. Fórmula de Produto e Limites de Fatores Primos:
   Os autores derivam uma fórmula de produto explícita para o determinante $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ reduzindo-o a um determinante do tipo Vandermonde. Esta fórmula envolve fatores da forma $(k - \lambda_r)$ e coeficientes binomiais.

   • Lema 2.1 & 2.2: Estabelecem que certos parâmetros racionais $\lambda_r$ não são inteiros, garantindo que o determinante seja bem definido e não nulo.
   • Lema 2.6: Crucialmente, os autores provam que todo fator primo do numerador e do denominador da fórmula de produto para $\Delta$ é limitado por $P^+(d)$. Isto é alcançado através da análise da função $h(x, y) = (2d-2)x - 2dy - d$ sobre regiões de rede específicas $U$ e $V$.

5. Não Desaparecimento Módulo $p$:
   Para qualquer primo $p > P^+(d)$, o determinante $\Delta$ é uma unidade $p$-ádica (não nulo módulo $p$). Consequentemente, o coeficiente principal de $H_{p,\alpha}(Y)$ é não nulo módulo $p$ (desde que $\alpha \not\equiv 0 \pmod p$), garantindo que o próprio polinômio seja não nulo.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 1.3: O artigo prova que para cada gênero $g \ge 2$ e para todo inteiro algébrico não nulo $\alpha$, a família $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ (com $d \in \{2g+1, 2g+2\}$) é genericamente ordinária em todo primo $p > P^+(d)$, desde que $p$ não divida a norma de $\alpha$.
  • O limite é definido como:
    $$P^+(d) = \begin{cases} d^2 - 4d + 2 & \text{se } d \text{ é ímpar} \\ (d^2 - 3d + 2)/2 & \text{se } d \text{ é par} \end{cases}$$
• Resolução da Conjectura de Katz: Como corolário direto (Corolário 4.2), o artigo confirma a conjectura de 2018 de Katz para a família específica $K$ (onde $\alpha = -d$) para todo $p > P^+(d)$.
• Generalização para Famílias de Dois Parâmetros: O Corolário 4.3 estende o resultado para a família de dois parâmetros $y^2 = x^d + sx + t$ sobre o plano afim, mostrando que ela é genericamente ordinária para $p > P^+(d)$.
• Refinamento para $p \equiv 1 \pmod d$: O Corolário 4.5 mostra que, se $p \equiv 1 \pmod d$, a família é genericamente ordinária para todos os $p$ (sem o limite $P^+(d)$), pois o determinante $\Delta_p$ torna-se 1 neste caso.

Significado e Alegações
O artigo afirma resolver a conjectura de Katz para todo $g \ge 2$. O significado reside no fato de ir além de resultados anteriores (como as famílias de Miller, onde a matriz de coeficientes é monomial) para lidar com famílias onde a matriz de Hasse–Witt é geralmente não monomial e contém muitos termos não nulos. Os autores observam que sua abordagem requer uma "abordagem diferente e nova" porque o determinante não se reduz a um único produto.

O trabalho estabelece um limite quadrático concreto $P^+(d)$ para a ordinaridade genérica. Os autores observam que este limite é agudo em certos casos: dados fornecidos por Katz mostram que a ordinaridade genérica falha para $p = P^+(d)$ em instâncias específicas (por exemplo, $(d, p) = (21, 359)$), indicando que o limite não pode ser enfraquecido para $p \ge P^+(d)$ em geral.

O artigo situa seus resultados dentro da tradição de Miller (1972) e do estudo de grande monodromia em loci hiperelípticos, confirmando que o locus ordinário é não vazio e denso para estas famílias em primos grandes.