Construction of Generically Ordinary Families of Hyperelliptic Curves

Resumen Técnico: Construcción de Familias Genéricamente Ordinarias de Curvas Hiperelípticas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una conjetura planteada por Katz (2018) sobre la ordinaridad genérica de familias específicas de curvas hiperelípticas de un parámetro sobre la recta $t$. Una curva proyectiva suave $C$ de género $g$ sobre un cuerpo de característica $p > 0$ se define como ordinaria si el coeficiente medio del numerador de su función zeta es coprimo con $p$. Equivalentemente, el Jacobiano de $C$ es una variedad abeliana ordinaria, caracterizada por un polígono de Newton que tiene solo pendientes 0 y 1. Esta condición se detecta mediante la no anulación del determinante de la matriz de Hasse–Witt (o matriz de Cartier–Manin).

Katz conjeturó que la familia de curvas definida por $K: y^2 = x^d - dx + t$ (donde $d \in \{2g+1, 2g+2\}$ y $g \ge 2$) es genéricamente ordinaria para todo primo suficientemente grande $p$. Aunque la familia posee una "monodromía grande" (índice finito en $Sp_{2g}(\mathbb{Z})$), se sabía que fallaba en la ordinaridad genérica para primos pequeños. El problema específico es establecer una cota cuadrática $P^+(d)$ tal que para todo $p > P^+(d)$, la familia sea genéricamente ordinaria, y generalizar este resultado a familias de la forma $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ para cualquier entero algebraico no nulo $\alpha$.

Metodología
La estrategia de la prueba se basa en el análisis de la matriz de Hasse–Witt asociada a la familia $C_\alpha$ y en demostrar que su determinante (el polinomio de Hasse–Witt) no se anula identicamente módulo $p$ para un $p$ suficientemente grande.

1. Construcción del Polinomio de Hasse–Witt:
   Los autores definen una matriz de coeficientes $(M_{ij}(X, Y))_{1 \le i,j \le g}$ sobre $\mathbb{Z}[X, Y]$, donde $M_{ij}$ es el coeficiente de $x^{pi-j}$ en la expansión de $(x^d + Xx + Y)^{(p-1)/2}$. El polinomio determinante de Hasse–Witt se define como $H_{p,\alpha}(Y) = \det(M_{ij}(\alpha, Y))$. La fibra genérica es ordinaria si y solo si este polinomio es no nulo módulo $p$.

2. Análisis del Término Principal:
   Para probar que $H_{p,\alpha}(Y) \not\equiv 0 \pmod p$, los autores analizan el término principal del polinomio. Identifican un grado $E$ específico y muestran que el coeficiente principal es de la forma $\alpha^m u_p \Delta_p$, donde:

   • $m$ es un entero no negativo.
   • $u_p$ es un producto de coeficientes binomiales coprimos con $p$.
   • $\Delta_p$ es un determinante que involucra coeficientes binomiales $\binom{(p-1)/2 - Q_i}{s_i - j}$, donde $s_i$ son residuos de $pi \pmod d$.

3. Reducción a un Determinante Binomial:
   La innovación técnica central es la reducción de $\Delta_p$ módulo $p$ a un determinante racional constante $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ independiente de $p$. Utilizando la congruencia $(p-1)/2 - Q_i \equiv \beta_i \pmod p$ (donde $\beta_i = s_i \frac{d-1}{2}$), demuestran que $\Delta_p \equiv \Delta(s_1, \dots, s_g) \pmod p$.

4. Fórmula de Producto y Cotas de Factores Primos:
   Los autores derivan una fórmula de producto explícita para el determinante $\Delta(s_1, \dots, s_g)$ reduciéndolo a un determinante de tipo Vandermonde. Esta fórmula involucra factores de la forma $(k - \lambda_r)$ y coeficientes binomiales.

   • Lema 2.1 y 2.2: Establecen que ciertos parámetros racionales $\lambda_r$ no son enteros, asegurando que el determinante esté bien definido y sea no nulo.
   • Lema 2.6: Crucialmente, los autores prueban que cada factor primo del numerador y del denominador de la fórmula de producto para $\Delta$ está acotado por $P^+(d)$. Esto se logra analizando la función $h(x, y) = (2d-2)x - 2dy - d$ sobre regiones de red específicas $U$ y $V$.

5. No Anulación Módulo $p$:
   Para cualquier primo $p > P^+(d)$, el determinante $\Delta$ es una unidad $p$-ádica (no nulo módulo $p$). En consecuencia, el coeficiente principal de $H_{p,\alpha}(Y)$ es no nulo módulo $p$ (siempre que $\alpha \not\equiv 0 \pmod p$), asegurando que el polinomio mismo sea no nulo.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema 1.3: El artículo demuestra que para cada género $g \ge 2$ y para cada entero algebraico no nulo $\alpha$, la familia $C_\alpha: y^2 = x^d + \alpha x + t$ (con $d \in \{2g+1, 2g+2\}$) es genéricamente ordinaria para todo primo $p > P^+(d)$, siempre que $p$ no divida la norma de $\alpha$.
  • La cota se define como:
    $$P^+(d) = \begin{cases} d^2 - 4d + 2 & \text{si } d \text{ es impar} \\ (d^2 - 3d + 2)/2 & \text{si } d \text{ es par} \end{cases}$$
• Resolución de la Conjetura de Katz: Como consecuencia directa (Corolario 4.2), el artículo confirma la conjetura de 2018 de Katz para la familia específica $K$ (donde $\alpha = -d$) para todo $p > P^+(d)$.
• Generalización a Familias de Dos Parámetros: El Corolario 4.3 extiende el resultado a la familia de dos parámetros $y^2 = x^d + sx + t$ sobre el plano afín, mostrando que es genéricamente ordinaria para $p > P^+(d)$.
• Refinamiento para $p \equiv 1 \pmod d$: El Corolario 4.5 muestra que si $p \equiv 1 \pmod d$, la familia es genéricamente ordinaria para todo $p$ (sin la cota $P^+(d)$), ya que el determinante $\Delta_p$ se convierte en 1 en este caso.

Significado y Pretensiones
El artículo afirma resolver la conjetura de Katz para todo $g \ge 2$. La importancia radica en ir más allá de los resultados previos (como las familias de Miller donde la matriz de coeficientes es monomial) para manejar familias donde la matriz de Hasse–Witt es generalmente no monomial y contiene muchos términos no nulos. Los autores señalan que su enfoque requiere un "enfoque diferente y nuevo" porque el determinante no se reduce a un solo producto.

El trabajo establece una cota cuadrática concreta $P^+(d)$ para la ordinaridad genérica. Los autores observan que esta cota es ajustada en ciertos casos: los datos proporcionados por Katz muestran que la ordinaridad genérica falla para $p = P^+(d)$ en instancias específicas (por ejemplo, $(d, p) = (21, 359)$), lo que indica que la cota no puede debilitarse a $p \ge P^+(d)$ en general.

El artículo sitúa sus resultados dentro de la tradición de Miller (1972) y el estudio de la monodromía grande en los loci hiperelípticos, confirmando que el lóbulo ordinario es no vacío y denso para estas familias en primos grandes.