Pressure-robust $hp$-a posteriori error estimates of $\boldsymbol{H}(\mathrm{div})$-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations

Problematica
Il documento affronta la stima dell'errore a posteriori per le equazioni di Stokes su domini politopali Lipschitziani in due e tre dimensioni. Nello specifico, si concentra sui metodi Discontinuous Galerkin (dG) conformi a $H(\text{div})$. Sebbene l'analisi a priori pressure-robust per tali metodi sia ben consolidata, lo sviluppo di corrispondenti stimatori dell'errore a posteriori rimane in gran parte inesplorato. Gli stimatori classici includono spesso termini dipendenti dalla pressione scalati per l'inverso della viscosità ($\mu^{-1}$), il che può portare a una significativa sovrastima degli errori di velocità in regimi dominati dalla pressione o in presenza di termini di forzante irrotazionali. L'obiettivo è ideare uno stimatore dell'errore basato sui residui di tipo $hp$, che sia robusto rispetto alla viscosità e indipendente dalla pressione, fornendo sia un limite superiore globale che un limite inferiore locale per l'errore di velocità nella norma dell'energia.

Metodologia
L'analisi si basa sulla decomposizione dell'errore totale in parti conformi e non conformi.

1. Controllo dell'errore non conforme: Gli autori impiegano un framework di partizione dell'unità combinato con decomposizioni di Helmholtz locali su patch di vertici. Una chiave innovazione tecnica è la derivazione di una nuova stima di stabilità per queste decomposizioni di Helmholtz locali, dove la costante di stabilità dipende esclusivamente dalla regolarità della forma della mesh. Questo approccio utilizza una ricostruzione di Stokes per patch accuratamente progettata che eleva il prodotto di un polinomio a pezzi conforme a $H(\text{div})$ e una funzione a cappello in $H^1_0(\omega_a)$ preservando esattamente la divergenza.
2. Controllo dell'errore conforme: L'errore conforme viene analizzato utilizzando l'operatore di interpolazione generalizzato di Bogovskiĭ per costruire operatori di interpolazione che preservano la condizione di divergenza nulla. Gli autori propongono due approcci distinti:
   • Approccio 1: Utilizza il classico operatore di interpolazione di Babuška–Suri. Ciò produce un limite superiore che coinvolge cinque indicatori di errore e un termine di oscillazione dei dati. Quattro indicatori presentano una scalatura $p$-ottimale, mentre il termine di penalità del salto è subottimale di un fattore $p^{1/2}$.
   • Approccio 2: Si basa sull'operatore di interpolazione basato sulla proiezione di Nédélec, che possiede proprietà di commutatività e ortogonalità. Questo approccio risulta in un limite superiore con soli due indicatori di residuo e un termine di oscillazione dei dati, sebbene sacrifichi un ordine di ottimalità $p$.
3. Limite inferiore locale: Un limite inferiore locale pressure-robust viene stabilito utilizzando funzioni bubble $C^1$ su misura, ispirate a tecniche sviluppate per equazioni differenziali alle derivate parziali del quarto ordine.

Contributi Chiave

• Primo stimatore $hp$ pressure-robust: Per quanto a conoscenza degli autori, questo è il primo lavoro a derivare un rigoroso stimatore dell'errore a posteriori $hp$ pressure-robust per il problema di Stokes che presenta sia un limite superiore provabile che un limite inferiore locale.
• Stabilità della decomposizione di Helmholtz locale: La derivazione di una stima di stabilità per le decomposizioni di Helmholtz locali su patch di vertici, che elimina la dipendenza dal numero di buchi nel dominio (a differenza delle decomposizioni globali).
• Nuova Ricostruzione di Stokes: Una ricostruzione di Stokes per patch che eleva i prodotti di polinomi conformi a $H(\text{div})$ e funzioni a cappello in $H^1_0$ mantenendo l'esatta preservazione della divergenza.
• Due Strategie di Limite Superiore: La fornitura di due distinti limiti superiori pressure-robust per l'errore conforme, offrendo un compromesso tra il numero di indicatori di errore e l'ottimalità $p$.
• Limite Inferiore Migliorato: Un miglioramento dei risultati esistenti (specificamente [24]) stabilendo un limite inferiore locale pressure-robust utilizzando funzioni bubble $H^2$.

Risultati
L'analisi teorica conferma che i ricercatori propongono stimatori che forniscono:

• Un limite superiore globale per l'errore di velocità nella norma dell'energia che è robusto rispetto alla viscosità e indipendente dalla pressione.
• Un limite inferiore locale che è anch'esso pressure-robust.
• Esperimenti numerici sia in due che in tre dimensioni (inclusi soluzioni lisce, domini L-shaped singolari e singolarità di angolo 3D) validano l'affidabilità, l'efficienza e la pressure-robustness degli stimatori. Gli schemi adattivi guidati da questi stimatori catturano con successo le singolarità e raggiungono tassi di convergenza ottimali, mentre gli stimatori non pressure-robust falliscono nel raffinare adeguatamente vicino alle singolarità di pressione.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento afferma che la metodologia proposta non è limitata ai metodi dG conformi a $H(\text{div})$, ma ha implicazioni più ampie per una vasta gamma di discretizzazioni pressure-robust, inclusi gli elementi Scott–Vogelius, elementi divergence-free usando funzioni razionali, metodi misti a conservazione della massa e metodi dG staggered. Gli autori sottolineano che le tecniche di decomposizione e ricostruzione sottostanti sono di interesse indipendente e applicabili a una vasta classe di metodi a elementi finiti non conformi, inclusi i metodi Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG). Il lavoro colma una lacuna critica nella letteratura fornendo una base teorica per strategie di raffinamento della mesh adattivo per simulazioni di Stokes pressure-robust, garantendo che il controllo dell'errore rimanga accurato anche in regimi dominati da grandi pressioni o forze irrotazionali.