Pressure-robust $hp$-a posteriori error estimates of $\boldsymbol{H}(\mathrm{div})$-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations

Probleemstelling
Het artikel behandelt de a posteriori foutschatting voor de Stokes-vergelijkingen op tweedimensionale en driedimensionale polytopale Lipschitz-domeinen. Specifiek richt het zich op $H(\text{div})$-conforme discontinuous Galerkin (dG) methoden. Hoewel de druk-robuuste a priori analyse voor dergelijke methoden goed gevestigd is, blijft de ontwikkeling van bijbehorende a posteriori foutschatters grotendeels onontgonnen. Klassieke schatters bevatten vaak druk-afhankelijke termen die geschaald zijn met de inverse viscositeit ($\mu^{-1}$), wat kan leiden tot een significante overschatting van de snelheidfouten in druk-gedomineerde regimes of wanneer er irrotationele dwangtermen aanwezig zijn. Het doel is om een residu-gebaseerde $hp$-foutschatter te ontwerpen die robuust is ten opzichte van de viscositeit en onafhankelijk is van de druk, waarbij zowel een globale bovengrens als een lokale ondergrens voor de snelheidfout in de energienorm wordt geboden.

Methodologie
De analyse berust op de decompositie van de totale fout in conforme en niet-conforme delen.

1. Controle van de niet-conforme fout: De auteurs maken gebruik van een partition-of-unity-raamwerk gecombineerd met lokale Helmholtz-decompositie op vertex-patches. Een belangrijke technische innovatie is de afleiding van een nieuwe stabiliteitschatting voor deze lokale Helmholtz-decomposities, waarbij de stabiliteitsconstante uitsluitend afhangt van de vorm-regulariteit van het rooster. Deze aanpak maakt gebruik van een zorgvuldig ontworpen patchwise Stokes-reconstructie die het product van een $H(\text{div})$-conforme stuksgewijze polynoom en een hat-functie naar $H^1_0(\omega_a)$ tilt, terwijl de divergentie exact behouden blijft.
2. Controle van de conforme fout: De conforme fout wordt geanalyseerd met behulp van de gegeneraliseerde Bogovskiĭ-operator om interpolatie-operatoren te construeren die de divergentievrije conditie behouden. De auteurs stellen twee verschillende benaderingen voor:
   • Benadering 1: Maakt gebruik van de klassieke Babuška–Suri interpolatie-operator. Dit levert een bovengrens op die bestaat uit vijf foutindicatoren en een data-oscillatieterm. Vier indicatoren vertonen $p$-optimale schaling, terwijl de jump-penalty term suboptimaal is met een factor $p^{1/2}$.
   • Benadering 2: Vertrouwt op de Nédélec-projectiegebaseerde interpolatie-operator, die commutatieve en orthogonaliteits-eigenschappen bezit. Deze benadering resulteert in een bovengrens met slechts twee residu-indicatoren en een data-oscillatieterm, hoewel er één orde van $p$-optimaliteit wordt opgeofferd.
3. Lokale ondergrens: Een druk-robuuste lokale ondergrens wordt vastgesteld met behulp van op maat gemaakte $C^1$-bubble-functies, geïnspireerd door technieken ontwikkeld voor vierde-orde partiële differentiaalvergelijkingen.

Belangrijkste Bijdragen

• Eerste druk-robuuste $hp$-foutschatter: Naar weten van de auteurs is dit het eerste werk dat een rigoureuze druk-robuuste $hp$-a posteriori foutschatter voor het Stokes-probleem afleidt die zowel een bewijsbaar boven- als een lokale ondergrens bevat.
• Stabiliteit van de Lokale Helmholtz-decompositie: De afleiding van een stabiliteitschatting voor lokale Helmholtz-decompositie op vertex-patches, die de afhankelijkheid van het aantal gaten in het domein elimineert (in tegen tegenstelling tot globale decomposities).
• Nieuwe Stokes-reconstructie: Een patchwise Stokes-reconstructie die producten van $H(\text{div})$-conforme polynomen en hat-functies naar $H^1_0$ tilt, terwijl de exacte divergentie behouden blijft.
• Twee Strategieën voor de Bovengrens: Het bieden van twee verschillende druk-robuuste bovengrenzen voor de conforme fout, die een afweging bieden tussen het aantal foutindicatoren en $p$-optimaliteit.
• Verbeterde Ondergrens: Een verbetering van bestaande resultaten (specifiek [24]) door een druk-robuuste lokale ondergrens vast te stellen met behulp van $H^2$-bubble-functies.

Resultaten
Theoretische analyse bevestigt dat de voorgestelde schatters de volgende resultaten bieden:

• Een globale bovengrens voor de snelheidfout in de energienorm die robuust is ten opzichte van de viscositeit en onafhankelijk is van de druk.
• Een lokale ondergrens die eveneens druk-robuust is.
• Numerieke experimenten in zowel twee als drie dimensies (inclusclusief gladde oplossingen, singuliere L-vormige domeinen en 3D-hoeksingulariteiten) valideren de betrouwbaarheid, efficiëntie en druk-robuustheid van de schatters. De adaptieve schema's die door deze schatters worden aangestuurd, vangen singulariteiten succesvol op en bereiken optimale convergentiecijfers, terwijl niet-druk-robuuste schatters er niet in slagen om adequaat te verfijnen nabij druk-singulariteiten.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat de voorgestelde methodologie niet beperkt is tot $H(\text{div})$-conforme dG-methoden, maar bredere implicaties heeft voor een breed scala aan druk-robuuste discretisaties, waaronder Scott–Vogelius elementen, divergentievrije elementen met rationale functies, massa-conserverende gemengde stress-methoden en gestaffelde dG-methoden. De auteurs benadrukken dat de onderliggende decompositie- en reconstructietechnieken van onafhankelijk belang zijn en toepasbaar zijn op een brede klasse van niet-conforme eindige elementenmethoden, inclusief Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) methoden. Het werk vult een kritiek gat in de literatuur door een theoretische fundering te bieden voor adaptieve roosterverfijningsstrategieën voor druk-robuuste Stokes-simulaties, waardoor de foutcontrole accuraat blijft, zelfs in regimes die worden gedomineerd door grote drukken of irrotationele krachten.