Pressure-robust $hp$-a posteriori error estimates of $\boldsymbol{H}(\mathrm{div})$-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations

Enunciado do Problema
O artigo aborda a estimativa de erro a posteriori para as equações de Stokes em domínios politópicos de Lipschitz em duas e três dimensões. Especificamente, foca-se em métodos de Galerkin descontínuos (dG) conformes a $H(\text{div})$. Embora a análise a priori de robustez de pressão para tais métodos seja bem estabelecida, o desenvolvimento de estimadores de erro a posteriori correspondentes permanece amplamente inexplorado. Estimadores clássicos frequentemente incluem termos dependentes da pressão escalonados pelo inverso da viscosidade ($\mu^{-1}$), o que pode levar a uma superestimativa significativa dos erros de velocidade em regimes dominados pela pressão ou na presença de termos de força irrotacionais. O objetivo é conceber um estimador de erro $hp$-baseado em resíduos que seja robusto em relação à viscosidade e independente da pressão, fornecendo tanto um limite superior global quanto um limite inferior local para o erro de velocidade na norma de energia.

Metodologia
A análise baseia-se na decomposição do erro total em partes conformes e não conformes.

1. Controle do Erro Não Conforme: Os autores empregam um arcabouço de partição da unidade combinado com decomposições de Helmholtz locais em patches de vértices. Uma inovação técnica fundamental é a derivação de uma nova estimativa de estabilidade para essas decomposições de Helmholtz locais, onde a constante de estabilidade depende exclusivamente da regularidade de forma da malha. Esta abordagem utiliza uma reconstrução de Stokes por patch cuidadosamente projetada que eleva o produto de um polinômio de peça de uma função conforme a $H(\text{div})$ e uma função hat para $H^1_0(\omega_a)$, preservando exatamente a divergência.
2. Controle do Erro Conforme: O erro conforme é analisado usando o operador de interpolação de Bogovski\u{ı} generalizado para construir operadores de interpolação que preservam a condição de divergência nula. Os autores propõem duas abordagens distintas:
   • Abordagem 1: Utiliza o operador de interpolação clássico de Babu\u{s}ka–Suri. Isto resulta em um limite superior envolvendo cinco indicadores de erro e um termo de oscilação de dados. Quatro indicadores exibem escalonamento $p$-ótimo, enquanto o termo de penalidade de salto é subótimo por um fator de $p^{1/2}$.
   • Abordagem 2: Baseia-se no operador de interpolação baseado na projeção de N'ed'elec, que possui propriedades de comutatividade e ortogonalidade. Esta abordagem resulta em um limite superior com apenas dois indicadores de resíduo e um termo de oscilação de dados, embora sacrifique um nível de otimalidade de $p$.
3. Limite Inferior Local: Um limite inferior local de robustez de pressão é estabelecido usando funções bolha $C^1$ sob medida, inspiradas em técnicas desenvolvidas para equações diferenciais parciais de quarta ordem.

Principais Contribuições

• Primeiro Estimador $hp$ de Robustez de Pressão: Tanto quanto ao conhecimento dos autores, este é o primeiro trabalho que deriva um estimador de erro $hp$-a posteriori rigoroso e de robustez de pressão para o problema de Stokes que apresenta tanto um limite superior provável quanto um limite inferior local.
• Estabilidade de Decomposição de Helmholtz Local: A derivação de uma estimativa de estabilidade para decomposções de Helmholtz locais em patches de vértices, o que elimina a dependência do número de buracos no domínio (ao contrário das decomposições globais).
• Nova Reconstrução de Stokes: Uma reconstrução de Stokes por patch que eleva produtos de polinômios conformes a $H(\text{div})$ e funções hat para $H^1_0$ enquanto mantém a preservação exata da divergência.
• Duas Estratégias de Limite Superior: A provisão de dois limites superiores distintos de robustez de pressão para o erro conforme, oferecendo um compromisso entre o número de indicadores de erro e a otimalidade de $p$.
• Limite Inferior Melhorado: Uma melhoria sobre os resultados existentes (especificamente [24]) ao estabelecer um limite inferior local de robustez de pressão usando funções bolha $H^2$.

Resultos
A análise teórica confirma que os estimadores propostos fornecem:

• Um limite superior global para o erro de velocidade na norma de energia que é robusto em relação à viscosidade e independente da pressão.
• Um limite inferior local que também é de robustez de pressão.
• Experimentos numéricos em ambas as duas e três dimensões (incluindo soluções suaves, domínios em L singulares e singularidades de canto 3D) validam a confiabilidade, eficiência e robustez de pressão dos estimadores. Os esquemas adaptativos impulsionados por estes estimadores capturam com sucesso as singularidades e alcançam taxas de convergência ótimas, enquanto estimadores não robustos de pressão falham em refinar apropriadamente próximo a singularidades de pressão.

Significância e Alegações
O artigo alega que a metodologia proposta não se restringe a métodos dG conformes a $H(\text{div})$, mas tem implicações mais amplas para uma vasta gama de discretizações de robustez de pressão, incluindo elementos Scott–Vogelius, elementos de divergência nula usando funções racionais, métodos mistos de conservação de massa e métodos dG escalonados. Os autores enfatizam que as técnicas de decomposição e reconstrução subjacentes são de interesse independente e aplicáveis a uma classe ampla de métodos de elementos finitos não conformes, incluindo métodos de Discontinuous Galerkin Hibridizável (HDG). O trabalho preenche uma lacuna crítica na literatura ao fornecer uma base teórica para estratégias de refinamento de malha adaptativo em simulações de Stokes de robustez de pressão, garantindo que o controle de erro permaneça preciso mesmo em regimes dominados por pressões elevadas ou forças irrotacionais.