Pressure-robust $hp$-a posteriori error estimates of $\boldsymbol{H}(\mathrm{div})$-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations

问题陈述
本文研究了二维和三维多面体 Lipschitz 区域上 Stokes 方程的后验误差估计。具体而言，研究重点是 $H(\text{div})$ 型保连续不连续伽辽金（dG）方法。虽然此类方法的压力鲁棒性先验分析已趋于成熟，但相应的后验误差估计器开发在很大程度上仍处于空白。经典的估计器通常包含随粘度倒数（$\mu^{-1}$）缩放的压力相关项，这在压力主导机制或存在无旋力项的情况下，会导致速度误差被显著高估。本研究旨在设计一种基于残差的 $hp$-误差估计器，该估计器对粘度具有鲁棒性，且与压力无关，能够为能量范数下的速度误差提供全局上界和局部下界。

方法论
分析基于将总误差分解为连续部分和非连续部分。

1. 非连续误差控制： 作者采用了结合顶点补丁（vertex patches）上局部亥姆霍兹分解（Helmholtz decompositions）的单位分解（partition-of-unity）框架。一项关键的技术创新是推导出了局部亥姆霍兹分解的一种新型稳定性估计，其中稳定性常数仅取决于网格的形状正则性。该方法利用了一种精心设计的补丁式 Stokes 重构技术，将 $H(\text{div})$-保连续分片多项式与帽子函数（hat function）的乘积提升至 $H^1_0(\omega_a)$ 中，同时精确保持散度不变。
2. 连续误差控制： 连续误差通过使用广义 Bogovskii 算子来构造保持散度自由条件的插值算子进行分析。作者提出了两种不同的方法：
   • 方法 1： 利用经典的 Babu\u{s}ka–Suri 插值算子。这产生了一个包含五个误差指示器和一个数据振荡项的上界。其中四个指示器具有 $p$-最优标度，而跳跃惩罚项（jump penalty term）在 $p$ 阶上次优（suboptimal）一个因子 $p^{1/2}$。
   • 方法 2： 依赖于具有交换性和正交性质的 N'ed'elec 投影插值算子。该方法产生了一个仅包含两个残差指示器和一个数据振荡项的上界，但牺牲了一个 $p$-阶的最优性。
3. 局部下界： 受四阶偏微分方程技术启发，作者利用定制的 $C^1$-泡函数（bubble functions）建立了压力鲁棒的局部下界。

核心贡献

• 首个压力鲁棒的 $hp$-估计器： 据作者所知，这是第一项为 Stokes 问题推导出严谨的、具有可证明上界和局部下界的压力鲁棒 $hp$-后验误差估计器的研究工作。
• 局部亥姆霍兹分解稳定性： 推导出了顶点补丁上局部亥姆霍兹分解的稳定性估计，这消除了对区域孔洞数量的依赖（不同于全局分解）。
• 新型 Stokes 重构： 一种补丁式 Stokes 重构技术，能将 $H(\text{div})$-保连续多项式与帽子函数的乘积提升至 $H^1_0$，同时保持散度精确不变。
• 两种上界策略： 提供了两种不同的压力鲁棒连续误差上界，在误差指示器的数量与 $p$-最优性之间提供了权衡。
• 改进的下界： 通过建立使用 $H^2$-泡函数的压力鲁棒局部下界，改进了现有结果（特别是 [24]）。

结果
理论分析证实，所提出的估计器提供：

• 一个对粘度具有鲁棒性且与压力无关的能量范数下的速度误差全局上界。
• 一个同样具有压力鲁棒性的局部下界。
• 二维和三维（包括平滑解、奇异 L 型区域和 3D 角点奇异性）的数值实验验证了估计器的可靠性、效率和压力鲁棒性。由这些估计器驱动的自适应方案成功捕捉了奇异性并实现了最优收敛率，而非常规的非压力鲁棒估计器在压力奇异性附近无法进行适当的细化。

意义与主张
本文声称，所提出的方法论并不局限于 $H(\text{div})$-保连续 dG 方法，而是对广泛的压力鲁棒离散化方法具有更广泛的影响，包括 Scott–Vogelius 元、使用有理函数的无散元、质量守恒混合应力法以及交错（staggered）dG 方法。作者强调，底层的分解与重构技术具有独立的研究价值，并适用于包括混合不连续伽辽金（HDG）方法在内的广泛的非连续有限元方法。这项工作填补了文献中的关键空白，为压力鲁棒 Stokes 模拟中的自适应网格细化策略提供了理论基础，确保即使在压力占主导或存在无旋力的机制下，误差控制依然准确。