Pressure-robust $hp$-a posteriori error estimates of $\boldsymbol{H}(\mathrm{div})$-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la estimación de error a posteriori para las ecuaciones de Stokes en dominios Lipschitz politópicos de dos y tres dimensiones. Específicamente, se centra en métodos de Galerkin discontinuos (dG) conformes a $H(\text{div})$. Si bien el análisis a priori de presión robusta para tales métodos está bien establecido, el desarrollo de estimadores de error a posteriori correspondientes permanece en gran medida inexplorado. Los estimadores clásicos suelen incluir términos dependientes de la presión escalados por el inverso de la viscosidad ($\mu^{-1}$), lo que puede conducir a una sobreestimación significativa de los errores de velocidad en regímenes dominados por la presión o cuando hay términos de forzamiento irrotacionales. El objetivo es diseñar un estimador de error $hp$ basado en residuos que sea robusto con respecto a la viscosidad e independiente de la presión, proporcionando tanto una cota superior global como una cota inferior local para el error de velocidad en la norma de energía.

Metodología
El análisis se basa en la descomposición del error total en partes conformes y no conformes.

1. Control del Error No Conforme: Los autores emplean un marco de partición de la unidad combinado con descomposiciones de Helmholtz locales en parches de vértices. Una innovación técnica clave es la derivación de una nueva estimación de estabilidad para estas descomposiciones de Helmholtz locales, donde la constante de estabilidad depende únicamente de la regularidad de la forma de la malla. Este enfoque utiliza una reconstrucción de Stokes por parches cuidadosamente diseñada que eleva el producto de un polinomio de piezas $H(\text{div})$-conforme y una función de hat hacia $H^1_0(\omega_a)$ preservando la divergencia exactamente.
2. Control del Error Conforme: El error conforme se analiza utilizando el operador de interpolación de Bogovskiĭ generalizado para construir operadores de interpolación que preserven la condición de divergencia nula. Los autores proponen dos enfoques distintos:
   • Enfoque 1: Utiliza el operador de interpolación clásico de Babu\u{s}ka–Suri. Esto produce una cota superior que involucra cinco indicadores de error y un término de oscilación de datos. Cuatro indicadores exhiben un escalamiento $p$-óptimo, mientras que el término de penalización de salto es subóptimo por un factor de $p^{1/2}$.
   • Enfoque 2: Se basa en el operador de interpolación basado en la proyección de N'ed'elec, el cual posee propiedades de conmutatividad y ortogonalidad. Este enfoque resulta en una cota superior con solo dos indicadores de residuo y un término de oscilación de datos, aunque sacrifica un orden de $p$-optimalidad.
3. Cota Inferior Local: Se establece una cota inferior local robusta a la presión utilizando funciones de burbuja $C^1$ a medida, inspiradas en técnicas desarrolladas para ecuaciones diferenciales parciales de cuarto orden.

Contribuciones Clave

• Primer Estimador $hp$ Robusto a la Presión: Hasta donde llega el conocimiento de los autores, este es el primer trabajo que deriva un estimador de error $hp$ a posteriori riguroso y robusto a la presión para el problema de Stokes que presenta tanto una cota superior demostrable como una cota inferior local.
• Estabilidad de la Descomposición de Helmholtz Local: La derivación de una estimación de estabilidad para las descomposiciones de Helmholtz locales en parches de vértices, lo que elimina la dependencia del número de huecos en el dominio (a diferencia de las descomposiciones globales).
• Nueva Reconstrucción de Stokes: Una reconstrucción de Stokes por parches que eleva productos de polinomios $H(\text{div})$-conformes y funciones de hat hacia $H^1_0$ manteniendo la preservación exacta de la divergencia.
• Dos Estrategias de Cota Superior: La provisión de dos cotas superiores distintas y robustas a la presión para el error conforme, ofreciendo un compromiso entre el número de indicadores de error y la $p$-optimalidad.
• Cota Inferior Mejorada: Una mejora sobre los resultados existentes (específicamente [24]) mediante el establecimiento de una cota inferior local robusta a la presión utilizando funciones de burbuja $H^2$.

Resultados
El análisis teórico confirma que los estimadores propuestos proporcionan:

• Una cota superior global para el error de velocidad en la norma de energía que es robusta con respecto a la viscosidad e independiente de la presión.
• Una cota inferior local que también es robusta a la presión.
• Experimentos numéricos tanto en dos como en tres dimensiones (incluyendo soluciones suaves, dominios en forma de L singulares y singularidades de esquina en 3D) validan la fiabilidad, eficiencia y robustez a la presión de los estimadores. Los esquemas adaptativos impulsados por estos estimadores capturan con éxito las singularidades y logran tasas de convergencia óptimas, mientras que los estimadores no robustos a la presión fallan al refinar apropiadamente cerca de las singularidades de presión.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma que la metodología propuesta no se restringe a los métodos dG conformes a $H(\text{div})$, sino que tiene implicaciones más amplias para una amplia gama de discretizaciones robustas a la presión, incluyendo elementos Scott–Vogelius, elementos sin divergencia usando funciones racionales, métodos mixtos de conservación de masa y métodos dG escalonados. Los autores enfatizan que las técnicas de descomposición y reconstrucción subyacentes son de interés independiente y aplicables a una amplia clase de métodos de elementos finitos no conformes, incluyendo los métodos de Galerkin Discontinuo Hidratizables (HDG). El trabajo llena un vacío crítico en la literatura al proporcionar una base teórica para estrategias de refinamiento de malla adaptativo en simulaciones de Stokes robustas a la presión, asegurando que el control de error permanezca preciso incluso en regímenes dominados por presiones grandes o fuerzas irrotacionales.