$L^{2}-L^{\infty}$ decay estimates and inviscid limits for Global smooth solutions to the compressible Navier-Stokes-Riesz system

Sintesi Tecnica: Stime di Decadimento $L^2 - L^\infty$ e Limiti Inviscidi per Soluzioni Regolari Globali del Sistema Navier-Stokes-Riesz Compressibile

Definizione del Problema
Questo articolo investiga il problema di Cauchy per il sistema Navier-Stokes-Riesz compressibile in $\mathbb{R}^3$, che modella il moto di un fluido compressibile carico con una forza repulsiva autoconsistente. Il sistema è governato dall'equazione di continuità, dall'equazione del momento con termini viscosi e dall'equazione del potenziale non locale $(-\Delta)^{-s}$ con esponente $s \in (0, 1)$. Lo studio si concentra su due obiettivi primari:

1. Stabilire l'esistenza globale, l'unicità e i tassi di decadimento temporale di soluzioni regolari per piccole perturbazioni di uno stato di equilibrio costante, affrontando specificamente il caso in cui la componente di velocità solenoidale (divergenza nulla) iniziale è dell'ordine di $O(\varepsilon)$.
2. Dimostrare il limite inviscido globale nel tempo ($\varepsilon \to 0$) di queste soluzioni verso la corrispondente soluzione irrotazionale del sistema Euler-Riesz, fornendo un tasso di convergenza esplicito.

Il termine di interazione di Riesz $\nabla(-\Delta)^{-s}(\rho - \bar{\rho})$ generalizza l'interazione Coulomb ($s=1$), mentre l'intervallo $0 < s < 1$ presenta sfide analitiche uniche, in particolare riguardo alla degenerazione della funzione di fase nel regime dispersivo e alla mancanza di risultati esistenti su soluzioni forti globali per $s \in (0, 1/2)$.

Metodologia
Gli autori impiegano un quadro unificato che combina stime dispersive adattate alla viscosità, analisi della forma normale e stime di energia non lineare. La metodologia procede attraverso le seguenti fasi chiave:

1. Decomposizione e Approssimazione: La soluzione $(\rho^\varepsilon, u^\varepsilon)$ viene decomposta in una soluzione approssimata $(\rho, u)$ e un termine di correzione $(n, v)$.

   • La soluzione approssimata $(\rho, u)$ risolve un'approssimazione viscosa del sistema Euler-Riesz con dati iniziali irrotazionali ($P^\perp u^\varepsilon_0$). Questo sistema preserva l'irrotazionalità e mantiene proprietà dissipative grazie alla viscosità artificiale $\varepsilon L u$.
   • Il sistema di correzione $(n, v)$ tiene conto della differenza tra il sistema Navier-Stokes-Riesz completo e il sistema irrotazionale approssimato, guidato dalla componente di velocità solenoidale iniziale $P u^\varepsilon_0$.

2. Analisi Lineare e Stime di Decadimento:

   • L'operatore linearizzato $A(D)$ viene analizzato tramite i suoi autovalori $\lambda_\pm(\xi) = -\varepsilon|\xi|^2 \pm i\sqrt{|\xi|^2 + |\xi|^{2-2s} - \varepsilon^2|\xi|^4}$.
   • Il dominio delle frequenze è diviso in una regione dominata dalla dispersione ($\Omega_L$, basse frequenze dove $\varepsilon|\xi|^2 \le 2\kappa_0$) e una regione dominata dalla dissipazione ($\Omega_H$, alte frequenze).
   • In $\Omega_L$, gli autori derivano stime di decadimento $L^p$ uniformi rispetto a $\varepsilon$ utilizzando l'analisi della fase stazionaria. Viene fatta una distinzione critica tra $s \in (0, 1/2]$ (che si comporta come l'equazione di Klein-Gordon) e $s \in (1/2, 1)$ (che si comporta più come l'equazione d'onda ma con una funzione di fase degenera).
   • In $\Omega_H$, vengono derivate stime di decadimento esponenziale standard.

3. Stime di Energia Non Lineare:

   • Stime $H^N$: Il sistema viene trasformato in un sistema iperbolico-parabolico simmetrico mediante un cambio di variabili. Gli autori derivano stime di energia di ordine superiore, gestendo con cura il termine $\int \nabla^k \phi \nabla^k \text{div} u \, dx$. Per $s < 1/2$, ciò richiede un approccio di energia modificato che coinvolge norme di Sobolev negative ed stime di commutatore.
   • Stime $W^{k,p}$: Per catturare il decadimento $L^\infty$ ottimale, gli autori utilizzano la formula di Duhamel. Per la non linearità quadratica nella regione dispersiva, i metodi di energia standard sono insufficienti. Gli autori applicano il metodo della forma normale di Shatah e il metodo della risonanza spazio-temporale. Costruiscono un kernel modificato per gestire la singolarità derivante dallo zero dell'insieme della funzione di fase $\Phi_{jk}$, che è non vuoto per il potenziale di Riesz (a differenza del caso Coulomb); ciò permette di controllare i termini bilineari in spazi di Sobolev negativi.

4. Stime di Sobolev Negative e Decadimento Iterativo:

   • Per recuperare i tassi di decadimento $L^2$ che riflettono la viscosità, gli autori stabiliscono stime uniformi negli spazi di Sobolev negativi $\dot{H}^{-\vartheta}$.
   • Viene utilizzato un procedimento di bootstrap iterativo per migliorare i tassi di decadimento passo dopo passo, sfruttando l'interazione tra il decadimento $L^\infty$ (dalle stime dispersive) e la dissipazione $L^2$.

5. Limite Inviscido:

   • Il sistema di errore tra la soluzione Navier-Stokes-Riesz e la soluzione Euler-Riesz viene analizzato. Vengono derivate stime di energia uniformi per stabilire un tasso di convergenza nelle norme $W^{N,p}$.

Contributi Chiave e Risultati

• Esistenza Globale per l'Intero Intervallo $s \in (0, 1)$: L'articolo dimostra l'esistenza globale e l'unicità di soluzioni regolari per il sistema Navier-Stokes-Riesz per l'intero intervallo $0 < s < 1$. Ciò estende i risultati precedenti che erano limitati a $s \in (1/2, 1)$ o richiedevano condizioni specifiche per $s=1$.
• Stime di Decadimento Uniformi: Gli autori derivano stime di decadimento temporale sia nelle norme $L^2$ che $L^\infty$ che sono uniformi rispetto al parametro di viscosità $\varepsilon$.
  • Per la perturbazione della densità e la velocità, il tasso di decadimento $L^\infty$ è mostrato essere $\min\{\varepsilon, (1+t)^{-\vartheta/2}\} + (1+t)^{-\beta_s}$, dove $\beta_s$ dipende da $s$ e dall'indice di integrabilità $p$.
  • I tassi di decadimento $L^2$ catturano esplicitamente la dissipazione dipendente dalla viscosità, mostrando un tasso di $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-s/2 - \vartheta/2}$ per la densità e $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-\vartheta/2}$ per la velocità.
• Limite Inviscido con Tasso Esplicito: L'articolo stabilisce la convergenza globale nel tempo della soluzione Navier-Stokes-Riesz verso la soluzione Euler-Riesz irrotazionale per $\varepsilon \to 0$. Il tasso di convergenza è quantificato esplicitamente come $O(\varepsilon^{\lambda_s})$ nelle norme $W^{N,p}$, dove $\lambda_s$ dipende da $s$ e $p$.
• Gestione della Degenerazione del Potenziale di Riesz: Un contributo tecnico significativo è l'analisi della funzione di fase per $s \in (1/2, 1)$, dove la funzione di fase mostra una degenerazione. Gli autori adattano con successo il metodo della forma normale per gestire gli insiemi di risonanza temporale non vuoti e le conseguenti singolarità del kernel, una sfida non presente nel caso $s=1$ (Coulomb).

Significatività
L'articolo sostiene di fornire un'analisi completa del sistema Navier-Stokes-Riesz, colmando il divario tra il ben studiato sistema Navier-Stokes-Poisson ($s=1$) e il sistema Euler-Riesz. Dimostrando l'esistenza globale per l'intero intervallo $0 < s < 1$ e derivando stime di decadimento uniformi, il lavoro integra i risultati ottimali di decadimento esistenti (come in Wang e Zhang [37] per $s > 1/2$) ed estende tali risultati all'intervallo precedentemente non risolto $s \in (0, 1/2]$.

Gli autori osservano che, sebbene i tassi di decadimento $L^2$ derivati non siano necessariamente ottimali rispetto ai tassi per il sistema Euler, l'analisi è cruciale per comprendere l'interazione tra dispersione e viscosità in presenza di interazioni di Riesz non locali. Il tasso di convergenza esplicito per il limite inviscido fornisce una giustificazione rigorosa per l'uso del sistema Euler-Riesz come approssimazione del sistema Navier-Stokes-Riesz nel regime di bassa viscosità, un risultato che era precedentemente aperto per $s \in (0, 1)$. Il lavoro si basa fortemente sulla condizione spettrale "dispersiva" per la velocità iniziale e sulla piccolezza dei dati iniziali in specifici spazi di Sobolev e $L^1$.