$L^{2}-L^{\infty}$ decay estimates and inviscid limits for Global smooth solutions to the compressible Navier-Stokes-Riesz system

Résumé Technique : Estimations de décroissance $L^2 - L^\infty$ et limites invis de solutions lisses globales pour le système de Navier-Stokes-Riesz compressible

Énoncé du Problème
Cet article étudie le problème de Cauchy pour le système de Navier-Stokes-Riesz compressible dans $\mathbb{R}^3$, qui modélise le mouvement d'un fluide compressible chargé soumis à une force répulsive auto-cohérente. Le système est régi par l'équation de continuité, l'équation de quantité de mouvement avec des termes visqueux, et une équation de potentiel non locale impliquant le potentiel de Riesz $(-\Delta)^{-s}$ avec exposant $0 < s < 1$. L'étude se concentre sur deux objectifs principaux :

1. Établir l'existence globale, l'unicité et les taux de décroissance temporelle de solutions lisses pour de petites perturbations d'un état d'équilibre constant, en traitant spécifiquement le cas où la composante de vitesse solénoidale (sans divergence) initiale est de l'ordre de $O(\varepsilon)$.
2. Prouver la limite invisible globale dans le temps ($\varepsilon \to 0$) de ces solutions vers la solution irrotationnelle correspondante du système d'Euler-Riesz, en fournissant un taux de convergence explicite.

Le terme d'interaction de Riesz $\nabla(-\Delta)^{-s}(\rho - \bar{\rho})$ généralise l'interaction de Coulomb (où $s=1$), tandis que la plage $0 < s < 1$ présente des défis analytiques uniques, notamment en raison de la dégénérescence de la fonction de phase dans le régime dispersif et de l'absence de résultats existants sur les solutions fortes globales pour $s \in (0, 1/2)$.

Méthodologie
Les auteurs emploient un cadre unifié combinant des estimations dispersives adaptées à la viscosité, l'analyse de forme normale et des estimations d'énergie non linéaires. La méthodologie procède à travers les étapes clés suivantes :

1. Décomposition et Approximation : La solution $(\rho^\varepsilon, u^\varepsilon)$ est décomposée en une solution approchée $(\rho, u)$ et un terme de correction $(n, v)$.

   • La solution approchée $(\rho, u)$ résout une approximation visqueuse du système Euler-Riesz avec des données initiales irrotationnelles ($P^\perp u^\varepsilon_0$). Ce système préserve l'irrotationnalité et conserve des propriétés dissipatives grâce à une viscosité artificielle $\varepsilon L u$.
   • Le système de correction $(n, v)$ rend compte de la différence entre le système complet de Navier-Stokes-Riesz et le système irrotationnel approché, piloté par la composante de vitesse solénoïdale initiale $P u^\varepsilon_0$.

2. Analyse Linéaire et Estimations de Décroissance :

   • L'opérateur linéarisé $A(D)$ est analysé via ses valeurs propres $\lambda_\pm(\xi) = -\varepsilon|\xi|^2 \pm i\sqrt{|\xi|^2 + |\xi|^{2-2s} - \varepsilon^2|\xi|^4}$.
   • Le domaine fréquentiel est divisé en une région dominée par la dispersion ($\Omega_L$, basses fréquences où $\varepsilon|\xi|^2 \le 2\kappa_0$) et une région dominée par la dissipation ($\Omega_H$, hautes fréquences).
   • Dans $\Omega_L$, les auteurs dérivent des estimations de décroissance $L^p$ uniformes en $\varepsilon$ en utilisant l'analyse de phase stationnaire. Une distinction critique est faite entre $s \in (0, 1/2]$ (se comportant comme l'équation de Klein-Gordon) et $s \in (1/2, 1)$ (se comportant davantage comme l'équation d'onde mais avec une fonction de phase dégénérée).
   • Dans $\Omega_H$, des estimations de décroissance exponentielle standard sont dérivées.

3. Estimations d'Énergie Non Linéaires :

   • Estimations $H^N$ : Le système est transformé en un système hyperbolique-parabolique symétrique via un changement de variables. Les auteurs dérivent des estimations d'énergie d'ordre élevé, en traitant soigneusement le terme $\int \nabla^k \phi \nabla^k \text{div} u \, dx$. Pour $s < 1/2$, cela nécessite une approche d'énergie modifiée impliquant des normes de Sobolev négatives et des estimations de commutateur.
   • Estimations $W^{k,p}$ : Pour capturer les taux de décroissance $L^\infty$ optimaux, les auteurs utilisent la formule de Duhamel. Pour la non-linéarité quadratique dans la région dispersive, les méthodes d'énergie standard sont insuffisantes. Les auteurs appliquent la méthode de forme normale de Shatah et la méthode de résonance espace-temps. Ils construisent un noyau modifié pour gérer la singularité provenant de l'ensemble nul de la fonction de phase $\Phi_{jk}$, qui est non vide pour le potentiel de Riesz (contrairement au cas de Coulomb). Cela permet de contrôler les termes bilinéaires dans les espaces de Sobolev négatifs.

4. Estimations de Sobolev Négatif et Décroissance Itérative :

   • Pour récupérer les taux de décroissance $L^2$ qui reflètent la viscosité, les auteurs établissent des estimations uniformes dans les espaces de Sobolev négatifs $\dot{H}^{-\vartheta}$.
   • Une procédure de bootstrap itérative est utilisée pour améliorer les taux de décroissance étape par étape, en exploitant l'interaction entre la décroissance $L^\infty$ (issue des estimations dispersives) et la dissipation $L^2$.

5. Limite Invisible :

   • Le système d'erreur entre la solution de Navier-Stokes-Riesz et la solution d'Euler-Riesz est analysé. Des estimations d'énergie uniformes sont dérivées pour établir un taux de convergence dans les normes $W^{N,p}$.

Contributions Clés et Résultats

• Existence Globale pour toute la Plage $s \in (0, 1)$ : L'article prouve l'existence globale et l'unicité de solutions lisses pour le système de Navier-Stokes-Riesz compressible pour toute la plage $0 < s < 1$. Cela étend les résultats précédents qui étaient limités à $s \in (1/2, 1)$ ou nécessitaient des conditions spécifiques pour $s=1$.
• Estimations de Décroissance Uniformes : Les auteurs dérivent des estimations de décroissance temporelle dans les normes $L^2$ et $L^\infty$ qui sont uniformes par rapport au paramètre de viscosité $\varepsilon$.
  • Pour la perturbation de densité et la vitesse, le taux de décroissance $L^\infty$ est montré comme étant $\min\{\varepsilon, (1+t)^{-\vartheta/2}\} + (1+t)^{-\beta_s}$, où $\beta_s$ dépend de $s$ et de l'indice d'intégrabilité $p$.
  • Les taux de décroissance $L^2$ capturent explicitement la dissipation dépendante de la viscosité, montrant un taux de $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-s/2 - \vartheta/2}$ pour la densité et $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-\vartheta/2}$ pour la vitesse.
• Limite Invisible avec Taux Explicite : L'article établit la convergence globale dans le temps de la solution de Navier-Stokes-Riesz vers la solution d'Euler-Riesz irrotationnelle lorsque $\varepsilon \to 0$. Le taux de convergence est explicitement quantifié comme étant $O(\varepsilon^{\lambda_s})$ dans les normes $W^{N,p}$, où $\lambda_s$ dépend de $s$ et $p$.
• Gestion de la Dégénérescence du Potentiel de Riesz : Une contribution technique significative est l'analyse de la fonction de phase pour $s \in (1/2, 1)$, où la fonction de phase présente une dégénérescence. Les auteurs adaptent avec succès la méthode de forme normale pour gérer les ensembles de résonance temporelle non vides et les singularités de noyau résultantes, un défi qui n'est pas présent dans le cas $s=1$ (Coulomb).

Signification
L'article affirme fournir une analyse complète du système de Navier-Stokes-Riesz compressible, comblant le fossé entre le système Navier-Stokes-Poisson bien étudié ($s=1$) et le système Euler-Riesz. En prouvant l'existence globale pour toute la plage $s \in (0, 1)$ et en dérivant des estimations de décroissance uniformes, ce travail complète les résultats de décroissance optimaux existants (tels que ceux de Wang et Zhang [37] pour $s > 1/2$) et les étend à la plage précédemment non résolue $s \in (0, 1/2]$.

Les auteurs notent que bien que leurs taux de décroissance $L^2$ dérivés ne soient pas nécessairement optimaux par rapport aux taux optimaux pour le système Euler, l'analyse est cruciale pour comprendre l'interaction entre la dispersion et la viscosité en présence d'interactions de Riesz non locales. Le taux de convergence explicite pour la limite invisible fournit une justification rigoureuse de l'utilisation du système Euler-Riesz comme approximation du système Navier-Stokes-Riesz dans le régime de faible viscosité, un résultat qui était auparavant une question ouverte pour un $s$ général dans $(0, 1)$. Le travail repose fortement sur la condition spectrale "dispersive" pour la vitesse initiale et la petitesse des données initiales dans des espaces de Sobolev et $L^1$ spécifiques.