$L^{2}-L^{\infty}$ decay estimates and inviscid limits for Global smooth solutions to the compressible Navier-Stokes-Riesz system

技术摘要：可压缩 Navier-Stokes-Riesz 系统全局光滑解的 $L^2 - L^\infty$ 衰减估计与无粘极限

问题陈述
本文研究了 $\mathbb{R}^3$ 中可压缩 Navier-Stokes-Riesz 系统的 Cauchy 问题，该系统模拟了带有自洽斥力作用的带电可压缩流体的运动。该系统由连续性方程、包含粘性项的动量方程以及一个涉及指数为 $0 < s < 1$ 的 Riesz 势 $(-\Delta)^{-s}$ 的非局部势方程所控制。本研究重点关注两个主要目标：

1. 建立对于常数平衡态的小扰动的全局存在性、唯一性以及时间衰减率，特别是在初始无散（散度为零）速度分量为 $O(\varepsilon)$ 的情况下。
2. 证明这些解在无粘极限（$\varepsilon \to 0$）下全局收敛于对应的不可旋可压缩 Euler-Riesz 系统，并提供显式的收敛速率。

Riesz 相互作用项 $\nabla(-\Delta)^{-s}(\rho - \bar{\rho})$ 将 Coulomb 相互作用（其中 $s=1$）进行了推广。虽然针对 Navier-Stokes-Poisson 系统（$s=1$）和 Euler-Riesz 系统已存在大量文献，但 $0 < s < 1$ 的范围带来了独特的分析挑战，特别是色散机制中相函数的退化问题，以及在 $s \in (0, 1/2)$ 时缺乏现有全局强解结果的问题。

方法论
作者采用了一个统一的框架，结合了经过粘性适配的色散估计、正规型分析（normal-form analysis）和非线性能量估计。该方法通过以下关键步骤进行：

1. 分解与近似： 解 $(\rho^\varepsilon, u^\varepsilon)$ 被分解为一个近似解 $(\rho, u)$ 和一个修正项 $(n, v)$。

   • 近似解 $(\rho, u)$ 求解一个 Euler-Riesz 系统的粘性近似，其初始数据为不可旋的（$P^\perp u^\varepsilon_0$）。该系统保持了不可旋性，并由于人工粘性 $\varepsilon L u$ 保留了耗散特性。
   • 修正系统 $(n, v)$ 描述了全量 Navier-Stokes-Riesz 系统与近似不可旋系统之间的差异，该差异由初始无散速度分量 $P u^\varepsilon_0$ 驱动。

2. 线性分析与衰减估计：

   • 通过特征值 $\lambda_\pm(\xi) = -\varepsilon|\xi|^2 \pm i\sqrt{|\xi|^2 + |\xi|^{2-2s} - \varepsilon^2|\xi|^4}$ 对线性算子 $A(D)$ 进行分析。
   • 频率域被划分为色散主导区域 $\Omega_L$（低频，其中 $\varepsilon|\xi|^2 \le 2\kappa_0$）和耗散主导区域 $\Omega_H$（高频）。
   • 在 $\Omega_L$ 中，作者通过驻相分析导出了一致的 $\varepsilon$-无关 $L^p$ 衰减估计。一个关键的区别在于 $s \in (0, 1/2]$（表现得像 Klein-Gordon 方程）与 $s \in (1/2, 1)$（表现得更像波方程，但具有退化的相函数）之间的差异。
   • 在 $\Omega_H$ 中，导出了标准的指数衰减估计。

3. 非线性能量估计：

   • $H^N$ 估计： 系统通过变量代换转化为对称双曲-抛物系统。作者推导了高阶能量估计，并仔细处理了 $\int \nabla^k \phi \nabla^k \text{div} u \, dx$ 项。对于 $s < 1/2$，这需要涉及负 Sobolev 范数和交换子估计的改进能量方法。
   • $W^{k,p}$ 估计： 为了捕捉最优的 $L^\infty$ 衰减，作者利用了 Duhamel 公式。对于色散区域中的二次非线性，标准的能量方法是不够的。作者应用了 Shatah 的正规型方法和时空共振方法。他们构造了一个修正核，以处理由于相函数 $\Phi_{jk}$ 的零集产生的奇异性，对于 Riesz 势而言，该零集是非空的（这与 Coulomb 情况不同）。这使得控制负 Sobolev 空间中的双线性项成为可能。

4. 负 Sobolev 估计与迭代衰减：

   • 为了恢复反映粘性的 $L^2$ 衰减率，作者建立了在负 Sobolev 空间 $\dot{H}^{-\vartheta}$ 中的一致估计。
   • 使用迭代提升（bootstrap）程序来逐步提高衰减率，利用 $L^\infty$ 衰减（来自色散估计）与 $L^2$ 耗散之间的相互作用。

5. 无粘极限：

   • 分析了 Navier-Stokes-Riesz 解与 Euler-Riesz 解之间的误差系统。通过导出一致的能量估计来建立 $W^{N,p}$ 范数下的收敛率。

主要贡献与结果

• 全范围 $s \in (0, 1)$ 的全局存在性： 本文证明了整个 $0 < s < 1$ 范围内可压缩 Navier-Stokes-Riesz 系统光滑解的全局存在性和唯一性。这扩展了以往仅限于 $s \in (1/2, 1)$ 或对 $s=1$ 有特定条件的结论。
• 一致衰减估计： 作者导出了关于时间且对粘性参数 $\varepsilon$ 一致的 $L^2$ 和 $L^\infty$ 范数下的时间衰减估计。
  • 对于密度扰动和速度，其 $L^\infty$ 衰减率显示为 $\min\{\varepsilon, (1+t)^{-\vartheta/2}\} + (1+t)^{-\beta_s}$，其中 $\beta_s$ 取决于 $s$ 和积分指数 $p$。
  • 对于 $L^2$ 衰减率，明确捕捉了粘性相关的耗散，显示密度为 $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-s/2 - \vartheta/2}$，速度为 $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-\vartheta/2}$。
• 带有显式速率的无粘极限： 本文确立了当 $\varepsilon \to 0$ 时，Navier-Stokes-Riesz 解向不可旋 Euler-Riesz 解的全局时间收敛性。在 $W^{N,p}$ 范数下的收敛率被显式量化为 $O(\varepsilon^{\lambda_s})$，其中 $\lambda_s$ 取决于 $s$ 和 $p$。
• 处理 Riesz 势的退化性： 一个重要的技术贡献是对 $s \in (1/2, 1)$ 情况下相函数的分析，其中相函数表现出退化性。作者成功地调整了正规型方法，以处理非空的时间共振集以及由此产生的核的奇异性，这是一个在 $s=1$ (Coulomb) 情况中不存在的挑战。

意义

该论文声称为可压缩 Navier-Stokes-Riesz 系统提供了一套全面的分析，弥合了研究充分的 Navier-Stokes-Poisson 系统（$s=1$）与 Euler-Riesz 系统之间的差距。通过证明整个 $0 < s < 1$ 范围内的全局存在性并推导出一致的衰减估计，这项工作补充了现有的最优衰减结果（例如 Wang 和 Zhang [37] 中针对 $s > 1/2$ 的结果），并将它们扩展到了此前未解决的 $s \in (0, 1/2]$ 范围。

作者指出，尽管其导出的 $L^2$ 衰减率与 Euler 系统的最优速率相比未必是最优的，但该分析对于理解存在非局部 Riesz 相互作用时的色散与粘性之间的相互作用至关重要。无粘极限的显式收敛速率为使用 Euler-Riesz 系统作为低粘性机制下 Navier-Stokes-Riesz 系统的近似提供了严格的理论依据，而这在一般 $s \in (0, 1)$ 情况下此前是一个开放性问题。该工作高度依赖于初始速度的“色散”谱条件以及初始数据在特定 Sobolev 和 $L^1$ 空间中的小性。