$L^{2}-L^{\infty}$ decay estimates and inviscid limits for Global smooth solutions to the compressible Navier-Stokes-Riesz system

Resumo Técnico: Estimativas de Decaimento $L^2 - L^\infty$ e Limites Inviscídos para Soluções Suaves Globais para o Sistema Navier-Stokes-Riesz Compressível

Enunciado do Problema
Este artigo investiga o problema de Cauchy para o sistema Navier-Stokes-Riesz compressível em $\mathbb{R}^3$, que modela o movimento de um fluido compressível carregado com uma força repulsiva autoconsequente. O sistema é governado pela equação de continuidade, pela equação de momento com termos viscosos e por uma equação de potencial não local envolvendo o potencial de Riesz $(-\Delta)^{-s}$ com expoente $0 < s < 1$. O estudo foca em dois objetivos primordiais:

1. Estabelecer a existência global, unicidade e taxas de decaimento temporal de soluções suaves para pequenas perturbações de um estado de equilíbrio constante, abordando especificamente o caso onde a componente de velocidade solenoidal (divergência nula) inicial é de ordem $O(\varepsilon)$.
2. Provar o limite inviscído global no tempo ($\varepsilon \to 0$) dessas soluções para a correspondente solução irrotacional do sistema Euler-Riesz, fornecendo uma taxa de convergência explícita.

O termo de interação de Riesz $\nabla(-\Delta)^{-s}(\rho - \bar{\rho})$ generaliza a interação de Coulomb (onde $s=1$). Enquanto existe uma vasta literatura para o sistema Navier-Stokes-Poisson ($s=1$) e para o sistema Euler-Riesz, o intervalo $0 < s < 1$ apresenta desafios analíticos únicos, particularmente em relação à degenerescência da função de fase no regime dispersivo e à falta de resultados existentes de soluções fortes globais para $s \in (0, 1/2)$.

Metodologia
Os autores empregam um framework unificado combinando estimativas dispersivas adaptadas à viscosidade, análise de forma normal e estimativas de energia não lineares. A metodologia procede através das seguintes etapas principais:

1. Decomposição e Aproximação: A solução $(\rho^\varepsilon, u^\varepsilon)$ é decomposta em uma solução aproximada $(\rho, u)$ e um termo de correção $(n, v)$.

   • A solução aproximada $(\rho, u)$ resolve uma aproximação viscosa do sistema Euler-Riesz com dados iniciais irrotacionais ($P^\perp u^\varepsilon_0$). Este sistema preserva a irrotacionalidade e retém propriedades dissipativas devido à viscosidade artificial $\varepsilon L u$.
   • O sistema de correção $(n, v)$ contabiliza a diferença entre o sistema completo Navier-Stokes-Riesz e o sistema irrotacional aproximado, impulsionado pela componente de velocidade solenoidal inicial $P u^\varepsilon_0$.

2. Análise Linear e Estimativas de Decaimento:

   • O operador linearizado $A(D)$ é analisado via seus autovalores $\lambda_\pm(\xi) = -\varepsilon|\xi|^2 \pm i\sqrt{|\xi|^2 + |\xi|^{2-2s} - \varepsilon^2|\xi|^4}$.
   • O domínio de frequência é dividido em uma região dominada pela dispersão ($\Omega_L$, frequências baixas onde $\varepsilon|\xi|^2 \le 2\kappa_0$) e uma região dominada pela dissipação ($\Omega_H$, frequências altas).
   • Em $\Omega_L$, os autores derivam estimativas de decaimento $L^p$ uniformes em $\varepsilon$ usando análise de fase estacionária. Uma distinção crítica é feita entre $s \in (0, 1/2]$ (comportando-se como a equação de Klein-Gordon) e $s \in (1/2, 1)$ (comportando-se mais como a equação de onda, mas com uma função de fase degenerada).
   • Em $\Omega_H$, estimativas padrão de decaimento exponencial são derivadas.

3. Estimativas de Energia Não Linear:

   • Estimativas $H^N$: O sistema é transformado em um sistema hiperbólico-parabólico simétrico através de uma mudança de variáveis. Os autores derivam estimativas de energia de alta ordem, lidando cuidadosamente com o termo $\int \nabla^k \phi \nabla^k \text{div} u \, dx$. Para $s < 1/2$, isso requer uma abordagem de energia modificada envolvendo normas de Sobolev negativas e estimativas de comutador.
   • Estimativas $W^{k,p}$: Para capturar o decaimento $L^\infty$ ótimo, os autores utilizam a fórmula de Duhamel. Para a não linearidade quadrática na região dispersiva, métodos de energia padrão são insuficientes. Os autores aplicam o método de forma normal de Shatah e o método de ressonância espaço-temporal. Eles constroem um kernel modificado para lidar com a singularidade decorrente do conjunto de zeros da função de fase $\Phi_{jk}$, que é não vazio para o potencial de Riesz (ao contrário do caso de Coulomb). Isso permite o controle dos termos bilineares em espaços de Sobolev negativos.

4. Estimativas de Sobolev Negativo e Decaimento Iterativo:

   • Para recuperar taxas de decaimento $L^2$ que reflitam a viscosidade, os autores estabelecem estimativas uniformes em espaços de Sobolev negativos $\dot{H}^{-\vartheta}$.
   • Um procedimento de bootstrap iterativo é usado para melhorar as taxas de decaimento passo a passo, aproveitando a interação entre o decaimento $L^\infty$ (das estimativas dispersivas) e a dissipação $L^2$.

5. Limite Inviscído:

   • O sistema de erro entre a solução Navier-Stokes-Riesz e a solução Euler-Riesz é analisado. Estimativas de energia uniformes são derivadas para estabelecer uma taxa de convergência em normas $W^{N,p}$.

Principais Contribuições e Resultados

• Existência Global para todo o Intervalo $s \in (0, 1)$: O artigo prova a existência global e a unicidade de soluções suaves para o sistema Navier-Stokes-Riesz compressível para todo o intervalo $0 < s < 1$. Isso estende resultados anteriores que eram limitados a $s \in (1/2, 1)$ ou exigiam condições específicas para $s=1$.
• Estimativas de Decaimento Uniformes: Os autores derivam estimativas de decaimento temporal tanto em normas $L^2$ quanto $L^\infty$ que são uniformes em relação ao parâmetro de viscosidade $\varepsilon$.
  • Para a perturbação da densidade e da velocidade, a taxa de decaimento $L^\infty$ é mostrada como $\min\{\varepsilon, (1+t)^{-\vartheta/2}\} + (1+t)^{-\beta_s}$, onde $\beta_s$ depende de $s$ e do índice de integrabilidade $p$.
  • As taxas de decaimento $L^2$ capturam explicitamente a dissipação dependente da viscosidade, mostrando uma taxa de $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-s/2 - \vartheta/2}$ para a densidade e $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-\vartheta/2}$ para a velocidade.
• Limite Inviscído com Taxa Explícita: O artigo estabelece a convergência global no tempo da solução Navier-Stokes-Riesz para a solução Euler-Riesz irrotacional conforme $\varepsilon \to 0$. A taxa de convergência é quantificada explicitamente como $O(\varepsilon^{\lambda_s})$ em normas $W^{N,p}$, onde $\lambda_s$ depende de $s$ e $p$.
• Tratamento da Degenerescência do Potencial de Riesz: Uma contribuição técnica significativa é a análise da função de fase para $s \in (1/2, 1)$, onde a função de fase exibe degenerescência. Os autores adaptam com sucesso o método da forma normal para lidar com os conjuntos de ressonância temporal não vazios e as singularidades resultantes no kernel, um desafio não presente no caso $s=1$ (Coulomb).

Significância
O artigo afirma fornecer uma análise abrangente do sistema Navier-Stokes-Riesz compressível, preenchendo a lacuna entre o bem estudado sistema Navier-Stokes-Poisson ($s=1$) e o sistema Euler-Riesz. Ao provar a existência global para todo o intervalo $s \in (0, 1)$ e derivar estimativas de decaimento uniformes, o trabalho complementa resultados de decaimento ótimo existentes (como em Wang e Zhang [37] para $s > 1/2$) e os estende ao intervalo anteriormente não resolvido $s \in (0, 1/2]$.

Os autores observam que, embora as taxas de decaimento $L^2$ derivadas não sejam necessariamente aguçadas em comparação com as taxas ótimas para o sistema Euler, a análise é crucial para entender a interação entre dispersão e viscosidade na presença de interações de Riesz não locais. A taxa de convergência explícita para o limite inviscído fornece uma justificativa rigorosa para o uso do sistema Euler-Riesz como uma aproximação para o sistema Navier-Stokes-Riesz no regime de baixa viscosidade, um resultado que era anteriormente uma questão aberta para $s \in (0, 1)$ em geral. O trabalho depende fortemente da condição espectral "dispersiva" para a velocidade inicial e da pequenez dos dados iniciais em espaços de Sobolev e $L^1$ específicos.