$L^{2}-L^{\infty}$ decay estimates and inviscid limits for Global smooth solutions to the compressible Navier-Stokes-Riesz system

Resumen Técnico: Estimaciones de Decaimiento $L^2 - L^\infty$ y Límites Invíscidos para Soluciones Suaves Globales al Sistema Navier-Stokes-Riesz Compresible

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga el problema de Cauchy para el sistema Navier-Stokes-Riesz compresible en $\mathbb{R}^3$, el cual modela el movimiento de un fluido compresible cargado con una fuerza repulsiva auto-consistente. El sistema está gobernado por la ecuación de continuidad, la ecuación de cantidad de movimiento con términos viscosos, y una ecuación de potencial no local que involucra el potencial de Riesz $(-\Delta)^{-s}$ con exponente $0 < s < 1$. El estudio se centra en dos objetivos primordiales:

1. Establecer la existencia global, unicidad y tasas de decaimiento temporal de soluciones suaves para pequeñas perturbaciones de un estado de equilibrio constante, abordando específicamente el caso donde la componente de velocidad solenoidal (divergencia nula) inicial es de orden $O(\varepsilon)$.
2. Probar el límite invíscido global en el tiempo ($\varepsilon \to 0$) de estas soluciones hacia la solución irrotacional correspondiente del sistema Euler-Riesz compresible, proporcionando una tasa de convergencia explícita.

El término de interacción de Riesz $\nabla(-\Delta)^{-s}(\rho - \bar{\rho})$ generaliza la interacción de Coulomb ($s=1$), mientras que el rango $0 < s < 1$ presenta desafíos analíticos únicos, particularmente respecto a la degeneración de la función de fase en el régimen dispersivo y la falta de resultados existentes de soluciones fuertes globales para $s \in (0, 1/2)$.

Metodología
Los autores emplean un marco unificado que combina estimaciones dispersivas adaptadas a la viscosidad, análisis de forma normal y estimaciones de energía no lineal. La metodología avanza a través de las siguientes etapas clave:

1. Descomposición y Aproximación: La solución $(\rho^\varepsilon, u^\varepsilon)$ se descompone en una solución aproximada $(\rho, u)$ y un término de corrección $(n, v)$.

   • La solución aproximada $(\rho, u)$ resuelve una aproximación viscosa del sistema Euler-Riesz con datos iniciales irrotacionales ($P^\perp u^\varepsilon_0$). Este sistema preserva la irrotacionalidad y retiene propiedades disipativas debido a la viscosidad artificial $\varepsilon L u$.
   • El sistema de corrección $(n, v)$ da cuenta de la diferencia entre el sistema completo de Navier-Stokes-Riesz y el sistema irrotacional aproximado, impulsado por la componente de velocidad solenoidal inicial $P u^\varepsilon_0$.

2. Análisis Lineal y Estimaciones de Decaimiento:

   • El operador linealizado $A(D)$ se analiza mediante sus autovalores $\lambda_\pm(\xi) = -\varepsilon|\xi|^2 \pm i\sqrt{|\xi|^2 + |\xi|^{2-2s} - \varepsilon^2|\xi|^4}$.
   • El dominio de frecuencia se divide en una región dominada por la dispersión ($\Omega_L$, frecuencias bajas donde $\varepsilon|\xi|^2 \le 2\kappa_0$) y una región dominada por la disipación ($\Omega_H$, frecuencias altas).
   • En $\Omega_L$, los autores derivan estimaciones de decaimiento $L^p$ uniformes en $\varepsilon$ utilizando el análisis de fase estacionaria. Se establece una distinción crítica entre $s \in (0, 1/2]$ (que se comporta como la ecuación de Klein-Gordon) y $s \in (1/2, 1)$ (que se comporta más como la ecuación de onda pero con una función de fase degenerada).
   • En $\Omega_H$, se derivan estimaciones de decaimiento exponencial estándar.

3. Estimaciones de Energía No Lineal:

   • Estimaciones $H^N$: El sistema se transforma en un sistema hiperbólico-parabólico simétrico mediante un cambio de variables. Los autores derivan estimaciones de energía de alto orden, manejando cuidadosamente el término $\int \nabla^k \phi \nabla^k \text{div} u \, dx$. Para $s < 1/2$, esto requiere un enfoque de energía modificado que involucra normas de Sobolev negativas y estimaciones de conmutador.
   • Estimaciones $W^{k,p}$: Para capturar el decaimiento óptimo en $L^\infty$, los autores utilizan la fórmula de Duhamel. Para la no linealidad cuadrática en la región dispersiva, los métodos de energía estándar son insuficientes. Los autores aplican el método de forma normal de Shatah y el método de resonancia espacio-temporal. Construyen un núcleo modificado para manejar la singularidad que surge del conjunto de ceros de la función de fase $\Phi_{jk}$, el cual es no vacío para el potencial de Riesz (a diferencia del caso de Coulomb); esto permite el control de los términos bilineales en espacios de Sobolev negativos.

4. Estimaciones de Sobolev Negativo e Iteración de Decaimiento:

   • Para recuperar las tasas de decaimiento $L^2$ que reflejan la viscosidad, los autores establecen estimaciones uniformes en los espacios de Sobolev negativos $\dot{H}^{-\vartheta}$.
   • Se utiliza un procedimiento de bootstrap iterativo para mejorar las tasas de decaimiento paso a paso, aprovechando la interacción entre el decaimiento $L^\infty$ (de las estimaciones dispersivas) y la disipación $L^2$.

5. Límite Invísido:

   • Se analiza el sistema de error entre la solución de Navier-Stokes-Riesz y la solución de Euler-Riesz. Se derivan estimaciones de energía uniformes para establecer una tasa de convergencia en normas $W^{N,p}$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Existencia Global para todo el rango $s \in (0, 1)$: El artículo demuestra la existencia global y la unicidad de soluciones suaves para el sistema Navier-Stokes-Riesz para todo el rango $0 < s < 1$. Esto extiende los resultados previos que estaban limitados a $s \in (1/2, 1)$ o requerían condiciones específicas para $s=1$.
• Estimaciones de Decaimiento Uniformes: Los autores derivan estimaciones de decaimiento temporal tanto en normas $L^2$ como $L^\infty$ que son uniformes respecto al parámetro de viscosidad $\varepsilon$.
  • Para la perturbación de la densidad y la velocidad, la tasa de decaimiento $L^\infty$ se muestra como $\min\{\varepsilon, (1+t)^{-\vartheta/2}\} + (1+t)^{-\beta_s}$, donde $\beta_s$ depende de $s$ y el índice de integrabilidad $p$.
  • Las tasas de decaimiento $L^2$ capturan explícitamente la disipación dependiente de la viscosidad, mostrando una tasa de $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-s/2 - \vartheta/2}$ para la densidad y $(1+\varepsilon \Upsilon t)^{-\vartheta/2}$ para la velocidad.
• Límite Invísido con Tasa Explícita: El artículo establece la convergencia global en el tiempo de la solución de Navier-Stokes-Riesz hacia la solución de Euler-Riesz irrotacional cuando $\varepsilon \to 0$. La tasa de convergencia se cuantifica explícitamente como $O(\varepsilon^{\lambda_s})$ en normas $W^{N,p}$, donde $\lambda_s$ depende de $s$ y $p$.
• Manejo de la Degeneración del Potencial de Riesz: Una contribución técnica significativa es el análisis de la función de fase para $s \in (1/2, 1)$, donde la función de fase exhibe degeneración. Los autores logran adaptar con éxito el método de la forma normal para manejar los conjuntos de resonancia temporal no vacíos y las singularidades resultantes en el núcleo, un desafío que no está presente en el caso de Coulomb ($s=1$).

Significado
El artículo afirma proporcionar un análisis exhaustivo del sistema Navier-Stokes-Riesz compresible, cerrando la brecha entre el sistema bien estudiado de Navier-Stokes-Poisson ($s=1$) y el sistema Euler-Riesz. Al demostrar la existencia global para todo el rango $s \in (0, 1)$ y derivar estimaciones de decaimiento uniformes, el trabajo complementa los resultados de decaimiento óptimo existentes (como los de Wang y Zhang [37] para $s > 1/2$) y los extiende al rango previamente no resuelto $s \in (0, 1/2]$.

Los autores señalan que, si bien sus tasas de decaimiento $L^2$ derivadas no son necesariamente exactas (sharp) en comparación con las tasas óptimas para el sistema Euler, el análisis es crucial para comprender la interacción entre la dispersión y la viscosidad en presencia de interacciones de Riesz no locales. La tasa de convergencia explícita para el límite invísido proporciona una justificación rigurosa para el uso del sistema Euler-Riesz como una aproximación del sistema Navier-Stokes-Riesz en el régimen de baja viscosidad, un resultado que anteriormente era una cuestión abierta para un $s$ general en $(0, 1)$. El trabajo depende fuertemente de la condición espectral "dispersiva" para la velocidad inicial y de la pequeñez de los datos iniciales en espacios de Sobolev y $L^1$ específicos.