On the existence results for $m$-Harmonic equation with critical Choquard Nonlinearity

Sintesi Tecnica: Risultati di Esistenza per l'Equazione $m$-armonica con Nonlinearità Choquard Critica

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga l'esistenza di soluzioni deboli non triviali per l'equazione $m$-armonica (poliarmonica) che coinvolge una nonlinearità Choquard critica e perturbazioni subcritiche su un dominio limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2m+1$). L'equazione principale considerata è:
$$\begin{cases} (-\Delta)^m u = \left( \int_{\Omega} \frac{|u(y)|^{2^*_{\alpha,m}}}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u(x)|^{2^*_{\alpha,m}-2}u(x) & \text{in } \Omega, \\ \nabla^k u = 0 \quad \forall |k| \le m-1 & \text{su } \partial\Omega, \end{cases}$$
dove $2^*_{\alpha,m} = \frac{2N-\alpha}{N-2m}$ è l'esponente critico associato alla disuguaglianza di Hardy–Littlewood–Sobolev (HLS). Lo studio affronta tre tipi specifici di perturbazioni subcritiche $f(u)$:

1. Termine subcritico locale: $f(u) = |u|^{q-2}u$ con $1 \le q < 2^*_m - 1$.
2. Termine subcritico non locale: $f(u) = \left( \int_{\Omega} \frac{|u|^q}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u|^{q-2}u$ con $1 < q < 2^*_{\alpha,m}$.
3. Caso misto: Una combinazione in cui il termine critico è non locale e la perturbazione è un termine di Sobolev critico locale, o viceversa.

Metodologia
Gli autori utilizzano metodi variazionali, nello specifico il Teorema del Passaggio Montano (Mountain Pass Theorem) e il Teorema del Linking, all'interno dello spazio di Hilbert $H^m_0(\Omega)$. Le sfide principali affrontate sono la mancanza di compattezza dovuta all'esponente critico e la presenza di termini non locali.

1. Minimizzatori e Funzioni Estremali: Gli autori stabiliscono innanzitutto l'esistenza di minimizzatori per l'operatore $m$-armonico accoppiato con il termine Choquard critico. Definiscono la costante migliore $S_{H,L}$ e utilizzano la forma esplicita delle funzioni estremali (funzioni bubble) $U_\varepsilon(x)$, che sono versioni troncate dei minimizzatori globali su $\mathbb{R}^N$.
2. Stime di Energia Delicate: Una parte significativa della metodologia consiste nel derivare stime asintotiche precise per il funzionale di energia $I_\lambda$ valutato sulle funzioni di test $u_\varepsilon = \phi U_\varepsilon$. Queste stime sono cruciali per dimostrare che il livello di energia minimax (livello Mountain Pass) si trova strettamente al di sotto di una specifica soglia critica:
   $$c < \frac{N+2m-\alpha}{4N-2\alpha} S_{H,L}^{\frac{2N-\alpha}{N+2m-\alpha}}.$$
   Questa soglia è necessaria per recuperare la compattezza delle sequenze di Palais-Smale (PS).
3. Recupero della Compattezza: Utilizzando un tipo di lemma di Brezis–Lieb adattato per termini non locali e le stime di energia derivate, gli autori dimostrano che ogni sequenza PS a un livello inferiore alla soglia critica possiede una sottosequenza fortemente convergente.
4. Analisi Spettrale: Per i casi in cui il parametro $\lambda$ è grande o si trova all'interno di specifici intervalli spettrali (autovalori di $(-\Delta)^m$), gli autori utilizzano la decomposizione spettrale dello spazio $H^m_0(\Omega)$ e argomenti di Linking per gestire la natura indefinita del funzionale.

Contributi Chiave e Risultati
Il documento fornisce risultati di esistenza sotto varie condizioni su dimensione $N$, parametro $\lambda$ ed esponente $q$:

• Teorema 1.1 (Perturbazione Locale): Per $1 < q < 2^*_m - 1$, una soluzione non triviale esiste se:
  • $N > \max\left\{ \min\left\{ \frac{2m(q+3)}{q+1}, 2m + \frac{\alpha}{q+1} \right\}, \frac{2m(q+1)}{q} \right\}$ e $\lambda > 0$; OPPURE
  • $N \le \max\left\{ \dots \right\}$ e $\lambda$ è sufficientemente grande.
• Teorema 1.2 (Perturbazione Lineare, $q=1$):
  • Se $N \ge 4m$, una soluzione esiste per $\lambda > 0$ (a condizione che $\lambda$ non sia un autovalore).
  • Se $2m+1 \le N \le 4m-1$, una soluzione esiste per $\lambda > \lambda^*$ (dove $\lambda^*$ è una soglia specifica), a condizione che $\lambda$ non sia un autovalore.
  • La dimostrazione distingue tra i casi $\lambda < \lambda^m_1$ (geometria Mountain Pass) e $\lambda > \lambda^m_1$ (geometria di Linking).
• Teorema 1.3 (Perturbazione Non Locale): Per l'equazione con un termine subcritico non locale ($1 < q < 2^*_{\alpha,m}$), una soluzione esiste se:
  • $N > \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ e $\lambda > 0$; OPPURE
  • $N \le \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ e $\lambda$ è sufficientemente grande.
  • Gli autori notano che la doppia struttura non locale (Choquard critico + Choquard subcritico) complica la stima del livello di energia minimax, richiedendo una gestione specifica dei termini di convoluzione.
• Teorema 1.4 (Critico di Sobolev con Perturbazione Non Locale): Risultati di esistenza simili sono stabiliti per il problema che coinvolge l'esponente di Sobolev critico e una perturbazione non locale subcritica.

Significatività e Rivendicazioni
Gli autori affermano che, per quanto a loro conoscenza, questo è il primo articolo che tratta l'operatore poliarmonico ($m \ge 2$) accoppiato con una nonlinearità di tipo Choquard critica. Mentre la letteratura precedente ha ampiamente coperto le equazioni biarmoniche ($m=2$) e le equazioni poliarmoniche con nonlinearità critiche locali (ad esempio, Pucci e Serrin, Gazzola), l'estensione all'impostazione Choquard critica per un generico $m$ è nuova.

I risultati sono rivendicati come nuovi anche per $m \ge 2$. Il documento estende con successo i classici problemi di tipo Brezis-Nirenberg alla dimensione non locale coinvolgendo il termine di convoluzione di Hardy–Littlewood–Sobolev, superando le difficoltà specifiche derivanti dalla struttura "doppia non locale" nel caso di perturbazioni non locali. Il lavoro stabilisce l'esistenza di minimizzatori per l'operatore associato e fornisce le necessarie stime delicate per garantire che i livelli di energia rimangano al di sotto della soglia critica richiesta per la compattezza.