On the existence results for $m$-Harmonic equation with critical Choquard Nonlinearity

技术摘要：具有临界 Choquard 非线性的 $m$-调和方程的存在性结果

问题陈述
本文研究了在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2m+1$) 上，涉及临界 Choquard 非线性和次临界扰动的 $m$-调和（多调和）方程的非平凡弱解的存在性。所研究的主要方程为：
\begin{cases} (-\Delta)^m u = \left( \int_{\Omega} \frac{|u(y)|^{2^*_{\alpha,m}}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u(x)|^{2^*_{\alpha,m}-2}u(x) & \text{in } \Omega, \\ \nabla^k u = 0 \quad \forall |k| \le m-1 & \text{on } \partial\Omega, \end{cases}
其中 $2^*_{\alpha,m} = \frac{2N-\alpha}{N-2m}$ 是与 Hardy–Littlewood–Sobolev (HLS) 不等式相关的临界指数。本研究探讨了三种特定类型的次临界扰动 $f(u)$：

1. 局部次临界项： $f(u) = |u|^{q-2}u$，其中 $1 \le q < 2^*_m - 1$。
2. 非局部次临界项： $f(u) = \left( \int_{\Omega} \frac{|u|^q}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u|^{q-2}u$，其中 $1 < q < 2^*_{\alpha,m}$。
3. 混合情况： 临界项为非局部项且扰动为局部 Sobolev 临界项，或反之亦然。

方法论
作者采用了变分方法，具体是在希尔伯特空间 $H^m_0(\Omega)$ 中使用山路定理（Mountain Pass Theorem）和连接定理（Linking Theorem）。核心挑战在于临界指数导致的紧性缺失以及非局部项的存在。

1. 极小值点与极值函数： 作者首先建立了耦合临界 Choquard 项的 $m$-调和算子的极小值存在性。他们定义了最佳常数 $S_{H,L}$，并利用 $\mathbb{R}^N$ 上全局极小值的显式形式（泡函数/bubble functions）$U_\varepsilon(x)$ 进行构造。
2. 精细能量估计： 方法论的一个重要部分是针对测试函数 $u_\varepsilon = \phi U_\varepsilon$ 导出精确的渐近估计。这些估计对于证明极小极大能量水平（Mountain Pass level）严格低于特定的临界阈值至关重要：
   $$c < \frac{N+2m-\alpha}{4N-2\alpha} S_{H,L}^{\frac{2N-\alpha}{N+2m-\alpha}}.$$
   该阈值对于恢复 Palais-Smale (PS) 序列的紧性是必要的。
3. 紧性恢复： 利用适用于非局部项的 Brezis–Lieb 型引理以及导出的能量估计，作者证明了任何处于低于临界阈值能级的 PS 序列都拥有强收敛子序列。
4. 谱分析： 对于参数 $\lambda$ 较大或位于特定谱区间（$(-\Delta)^m$ 的特征值）的情况，作者利用 $H^m_0(\Omega)$ 的谱分解和连接论证来处理泛函的不定性质。

主要贡献与结果
论文根据维度 $N$、参数 $\lambda$ 和指数 $q$ 的不同条件，提供了非平凡解的存在性结果：

• 定理 1.1 (局部扰动)： 对于 $1 < q < 2^*_m - 1$，若满足以下条件之一，则存在非平凡解：
  • $N > \max\left\{ \min\left\{ \frac{2m(q+3)}{q+1}, 2m + \frac{\alpha}{q+1} \right\}, \frac{2m(q+1)}{q} \right\}$ 且 $\lambda > 0$；或者
  • $N \le \max\left\{ \dots \right\}$ 且 $\lambda$ 足够大。
• 定理 1.2 (线性扰动，$q=1$)：
  • 若 $N \ge 4m$，则对于 $\lambda > 0$（假设 $\lambda$ 不是特征值）存在解。
  • 若 $2m+1 \le N \le 4m-1$，则对于 $\lambda > \lambda^*$（其中 $\lambda^*$ 是特定阈值）存在解，前提是 $\lambda$ 不是特征值。
  • 证明区分了 $\lambda < \lambda^m_1$（山路几何结构）和 $\lambda > \lambda^m_1$（连接几何结构）两种情况。
• 定理 1.3 (非局部扰动)： 对于具有次临界非局部项（$1 < q < 2^*_{\alpha,m}$）的方程，若满足以下条件之一，则存在解：
  • $N > \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ 且 $\lambda > 0$；或者
  • $N \le \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ 且 $\lambda$ 足够大。
  • 作者指出，双重非局部结构（临界 Choquard + 次临界 Choquard）使得极小极大能量的估计变得复杂，需要对卷积项进行专门处理。
• 定理 1.4 (带有非局部扰动的 Sobolev 临界情况)： 针对涉及 Sobolev 临界指数和次临界非局部扰动的问题，建立了类似的结论。

意义与主张
作者指出，据其所知，这是第一篇处理耦合临界 Choquard 型非线性的多调和算子（$m \ge 2$）的文章。虽然之前的文献已广泛讨论了双调和方程（$m=2$）和具有局部临界非线性的多调和方程（例如 Pucci 和 Serrin, Gazzola），但将研究扩展到一般 $m$ 的临界 Choquard 设定具有新颖性。

这些结果被认为是全新的，即使对于 $m \ge 2$ 的情况也是如此。本文成功地将经典的 Brezis–Nirenberg 型问题扩展到了涉及 Hardy–Littlewood–Sobolev 卷积项的非局部设定，克服了在非局部扰动情况下出现的“双重非局部”结构的特定困难。该工作确立了相关算子的极小值存在性，并提供了必要的精细估计，以确保能量水平保持在实现紧性所需的临界阈值之下。