On the existence results for $m$-Harmonic equation with critical Choquard Nonlinearity

Technische Samenvatting: Bestaanresultaten voor de m-harmonische vergelijking met kritische Choquard-nietlineariteit

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt het bestaan van niet-triviale zwakke oplossingen voor de m-harmonische (polyharmonische) vergelijking met een kritische Choquard-nietlineariteit en subkritische perturbaties op een begrensde verzameling $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2m+1$). De primaire vergelijking waarvoor wordt gekeken is:
$$\begin{cases} (-\Delta)^m u = \left( \int_{\Omega} \frac{|u(y)|^{2^*_{\alpha,m}}}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u(x)|^{2^*_{\alpha,m}-2}u(x) & \text{in } \Omega, \\ \nabla^k u = 0 \quad \forall |k| \le m-1 & \text{op } \partial\Omega, \end{cases}$$
waarbij $2^*_{\alpha,m} = \frac{2N-\alpha}{N-2m}$ de kritische exponent is die geassocieerd wordt met de Hardy–Littlewood–Sobolev (HLS) ongelijkheid. De studie behandelt drie specifieke typen subkritische perturbaties $f(u)$:

1. Lokale subkritische term: $f(u) = |u|^{q-2}u$ met $1 \le q < 2^*_m - 1$.
2. Niet-lokale subkritische term: $f(u) = \left( \int_{\Omega} \frac{|u|^q}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u|^{q-2}u$ met $1 < q < 2^*_{\alpha,m}$.
3. Gemengde casus: Een combinatie waarbij de kritische term niet-lokaal is en de perturbatie een lokale kritische Sobolev-term is, of vice versa.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van variationele methoden, specifiek de Mountain Pass Theorem en de Linking Theorem, binnen de Hilbertruimte $H^m_0(\Omega)$. De kernuitdagingen die worden aangepakt zijn het gebrek aan compactheid door de kritische exponent en de aanwezigheid van niet-lokale termen.

1. Minimizers en extremale functies: De auteurs stellen eerst de existentie vast van minimizers voor de m-harmonische operator gekoppeld aan de kritische Choquard-term. Ze definiëren de beste constante $S_{H,L}$ en maken gebruik van de expliciete vorm van de extremale functies (bubble functies) $U_\varepsilon(x)$, die afgekappte versies zijn van de globale minimizers op $\mathbb{R}^N$.
2. Gedetailleerde energie-schattingen: Een aanzienlijk deel van de methodologie betreft het afleiden van precieze asymptotische schattingen voor de energiefunctie $I_\lambda$ geëvalueerd op de testfuncties $u_\varepsilon = \phi U_\varepsilon$. Deze schattingen zijn cruciaal om aan te tonen dat het minimax-energieniveau strikt onder een specifieke kritische drempel ligt:
   $$c < \frac{N+2m-\alpha}{4N-2\alpha} S_{H,L}^{\frac{2N-\alpha}{N+2m-\alpha}}.$$
   Deze drempel is noodzakelijk om de compactheid van de Palais-Smale (PS) sequenties te herstellen.
3. Herstel van compactheid: Door gebruik te maken van een Brezis–Lieb-type lemma, aangepast voor niet-lokale termen, en de afgeleide energie-schattingen, bewijzen de auteurs dat elke PS-sequentie op een niveau onder de kritische drempel een sterk convergente subreeks bezit.
4. Spectrale analyse: Voor gevallen waarin de parameter $\lambda$ groot is of binnen specifieke spectrale intervallen valt (eigenwaarden van $(-\Delta)^m$), gebruiken de auteurs de spectrale decompositie van de ruimte $H^m_0(\Omega)$ en Linking-argumenten om de onbepaalde aard van de functionele te behandelen.

Belangrijkste bijdragen en resultaten
Het artikel biedt existentieresultaten onder diverse voorwaarden op de dimensie $N$, de parameter $\lambda$ en de exponent $q$:

• Theorem 1.1 (Lokale perturbatie): Voor $1 < q < 2^*_m - 1$, bestaat er een niet-triviale oplossing als:
  • $N > \max\left\{ \min\left\{ \frac{2m(q+3)}{q+1}, 2m + \frac{\alpha}{q+1} \right\}, \frac{2m(q+1)}{q} \right\}$ en $\lambda > 0$; OF
  • $N \le \max\left\{ \dots \right\}$ en $\lambda$ voldoende groot is.
• Theorem 1.2 (Lineaire perturbatie, $q=1$):
  • Als $N \ge 4m$, bestaat er een oplossing voor $\lambda > 0$ (mits $\lambda$ geen eigenwaarde is).
  • Als $2m+1 \le N \le 4m-1$, bestaat er een oplossing voor $\lambda > \lambda^*$ (waarbij $\lambda^*$ een specifieke drempel is), mits $\lambda$ geen eigenwaarde is.
  • Het bewijs maakt onderscheid tussen de gevallen $\lambda < \lambda^m_1$ (Mountain Pass geometrie) en $\lambda > \lambda^m_1$ (Linking geometrie).
• Theorem 1.3 (Niet-lokale perturbatie): Voor de vergelijking met een subkritische niet-lokale term ($1 < q < 2^*_{\alpha,m}$), bestaat er een oplossing als:
  • $N > \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ en $\lambda > 0$; OF
  • $N \le \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ en $\lambda$ voldoende groot is.
  • De auteurs merken op dat de dubbele niet-lokale structuur (kritische Choquard + subkritische Choquard) de schatting van de minimax-energie bemoeilijkt, wat specifieke behandeling van de convolutie-termen vereist.
• Theorem 1.4 (Sobolev kritisch met niet-lokale perturbatie): Vergelijkbare existentieresultaten worden vastgesteld voor het probleem met de Sobolev kritische exponent en een subkritische niet-lokale perturbatie.

Betekenis en claims
De auteurs stellen dat dit naar hun weten het eerste artikel is dat de polyharmonische operator ($m \ge 2$) behandelt gekoppeld aan een kritische Choquard-type nietlineariteit. Hoewel de literatuur uitgebreid heeft gedebatteerd over biharmonische vergelijkingen ($m=2$) en polyharmonische vergelijkingen met lokale kritische nietlineariteiten (bijv. Pucci en Serrin, Gazzola), is de uitbreiding naar de kritische Choquard-setting voor algemene $m$ nieuw.

De resultaten worden als nieuw beschouwd, zelfs voor $m \ge 2$. Het artikel breidt de klassieke Brezis-Nirenberg type problemen succesvol uit naar een niet-lokale setting met de Hardy–Littlewood–Sobolev convolutie-term, waarbij de specifieke moeilijkheden die voortvloeien uit de "dubbel niet-lokale" structuur in het geval van niet-lokale perturbaties worden overwonnen. Het werk stelt de existentie van minimizers voor de bijbehorende operator vast en levert de noodzakelijke delicate schattingen om te garanderen dat de energieniveaus onder de kritische drempel blijven die vereist is voor compactheid.