On the existence results for $m$-Harmonic equation with critical Choquard Nonlinearity

技術要約：臨界チョガード非線形性を伴う $m$-調和方程式の存在結果

問題設定
本論文は、有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2m+1$) における、臨界チョガード（Choquard）非線形性と劣臨界摂動を伴う $m$-調和（多重調和）方程式の非自明な弱解の存在について調査している。対象となる主要な方程式は以下の通りである：
$$\begin{cases} (-\Delta)^m u = \left( \int_{\Omega} \frac{|u(y)|^{2^*_{\alpha,m}}}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u(x)|^{2^*_{\alpha,m}-2}u(x) & \text{in } \Omega, \\ \nabla^k u = 0 \quad \forall |k| \le m-1 & \text{on } \partial\Omega, \end{cases}$$
ここで、$2^*_{\alpha,m} = \frac{2N-\alpha}{N-2m}$ はハーディ・リトルウッド・ソボレフ（HLS）不等式に関連する臨界指数である。本研究では、3つの特定の型の劣臨界摂動 $f(u)$ を扱う：

1. 局所的劣臨界項: $f(u) = |u|^{q-2}u$ ($1 \le q < 2^*_m - 1$)。
2. 非局所的劣臨界項: $f(u) = \left( \int_{\Omega} \frac{|u|^q}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u|^{q-2}u$ ($1 < q < 2^*_{\alpha,m}$)。
3. 混合ケース: 臨界項が非局所的で摂動が局所的な臨界ソボレフ項である場合、あるいはその逆の場合。

手法
著者らは変分法、具体的にはヒルベルト空間 $H^m_0(\Omega)$ における山登り定理（Mountain Pass Theorem）およびリンキング定理（Linking Theorem）を用いている。核心となる課題は、臨界指数によるコンパクト性の欠如と、非局所項の存在である。

1. 極小値および極限関数: 著者らはまず、$m$-調和作用素と臨界チョガード項を結合させた極小値の存在を確立する。彼らは最良定数 $S_{H,L}$ を定義し、グローバルな極小値の局所的なカットオフ版である極限関数（バブル関数）$U_\varepsilon(x)$ の明示的な形式を利用する。
2. 精緻なエネルギー評価: 著者らの手法の大部分は、テスト関数 $u_\varepsilon = \phi U_\varepsilon$ 上のエネルギー汎関数 $I_\lambda$ の精密な漸近評価を導出することに割かれている。これらの評価は、ミニマックスエネルギーレベルが以下の特定の臨界閾値を厳密に下回ることを示すために不可欠である：
   $$c < \frac{N+2m-\alpha}{4N-2\alpha} S_{H,L}^{\frac{2N-\alpha}{N+2m-\alpha}}.$$
   この閾値は、パラレイ・スメール（Palais-Smale, PS）列のコンパクト性を回復するために必要である。
3. コンパクト性の回復: 非局所項に適応させたブレジス・リエブ（Brezis–Lieb）型の補題と導出されたエネルギー評価を用いて、特定の臨界閾値以下のレベルにある任意のPS列が強収束部分列を持つことを証明する。
4. スペクトル解析: パラメータ $\lambda$ が大きい場合、または $(-\Delta)^m$ の固有値の範囲内にある場合、著者らは $H^m_0(\Omega)$ のスペクトル分解とリンキングの手法を用いて、汎関数の不定性を扱う。

主な貢献と結果
本論文は、次元 $N$、パラメータ $\lambda$、および指数 $q$ に関する様々な条件の下で、非自明な解の存在結果を提供している：

• 定理 1.1 (局所的摂動): $1 < q < 2^*_m - 1$ のとき、以下の場合に非自明な解が存在する：
  • $N > \max\left\{ \min\left\{ \frac{2m(q+3)}{q+1}, 2m + \frac{\alpha}{q+1} \right\}, \frac{2m(q+1)}{q} \right\}$ かつ $\lambda > 0$ の場合。
  • または、$N \le \max\left\{ \dots \right\}$ かつ $\lambda$ が十分に大きい場合。
• 定理 1.2 (線形摂動, $q=1$):
  • $N \ge 4m$ ならば、$\lambda > 0$（$\lambda$ が固有値でない限り）に対して解が存在する。
  • $2m+1 \le N \le 4m-1$ ならば、$\lambda > \lambda^*$（$\lambda^*$ は特定の閾値）において、解が存在する（$\lambda$ が固有値でない限り）。
  • 証明では、$\lambda < \lambda^m_1$（山登り幾何学）と $\lambda > \lambda^m_1$（リンキング幾何学）のケースを区別している。
• 定理 1.3 (非局所的摂動): 劣臨界非局所項（$1 < q < 2^*_{\alpha,m}$）を伴う方程式について、以下の場合に解が存在する：
  • $N > \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ かつ $\lambda > 0$ の場合。
  • または、$N \le \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ かつ $\lambda$ が十分に大きい場合。
  • 著者らは、二重の非局所構造（臨界チョガード ＋ 劣臨界チョガード）がミニマックスエネルギーの推定を複雑にし、畳み込み項の特別な扱いを必要とすることを指摘している。
• 定理 1.4 (非局所的摂動を伴うソボレフ臨界): ソボレフ臨界指数と劣臨界非局所摂動を含む問題についても、同様の存在結果が確立されている。

意義および主張
著者らは、彼らの知る限り、これは多重調和作用素（$m \ge 2$）と臨界チョガード型非線形性を組み合わせた最初の論文であると述べている。これまでの文献では、双調和方程式（$m=2$）や局所的な臨界非線性を伴う多重調和方程式（例：Pucci and Serrin, Gazzola）については広く扱われてきたが、一般的な $m$ に対する臨界チョガードの設定への拡張は新規である。

結果は $m \ge 2$ においても新しいものであると主張されている。本論文は、ハーディ・リトルウッド・ソボレフの畳み込み項を伴う非局所的な設定において、古典的なブレジス・ニレンバーグ型問題を成功裏に拡張しており、非局所的摂動の場合における「二重の非局所構造」から生じる特有の困難を克服している。本研究は、関連する作用素の極小値の存在を確立し、エネルギーレベルがコンパクト性に必要な臨界閾値を下回ることを保証するための、必要な精緻な評価を提供している。