On the existence results for $m$-Harmonic equation with critical Choquard Nonlinearity

Resumen Técnico: Resultados de Existencia para la Ecuación m-armónica con No linealidad de Choquard Crítica

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la existencia de soluciones débiles no triviales para la ecuación $m$-armónica (poliarmónica) que involucra una no linealidad de Choquard crítica y perturbaciones subcríticas en un dominio acotado $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2m+1$). La ecuación principal bajo consideración es:
\begin{cases} (-\Delta)^m u = \left( \int_{\Omega} \frac{|u(y)|^{2^*_{\alpha,m}}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u(x)|^{2^*_{\alpha,m}-2}u(x) & \text{en } \Omega, \\ \nabla^k u = 0 \quad \forall |k| \le m-1 & \text{en } \partial\Omega, \end{cases}
donde $2^*_{\alpha,m} = \frac{2N-\alpha}{N-2m}$ es el exponente crítico asociado a la desigualdad de Hardy–Littlewood–Sobolev (HLS). El estudio aborda tres tipos específicos de perturbaciones subcríticas $f(u)$:

1. Término subcrítico local: $f(u) = |u|^{q-2}u$ con $1 \le q < 2^*_m - 1$.
2. Término subcrítico no local: $f(u) = \left( \int_{\Omega} \frac{|u|^q}{|x-y|^\alpha} dy \right) |u|^{q-2}u$ con $1 < q < 2^*_{\alpha,m}$.
3. Caso mixto: Una combinación donde el término crítico es no local y la perturbación es un término de Sobolev crítico local, o viceversa.

Metodología
Los autores emplean métodos variacionales, específicamente el Teorema del Paso de Montaña (Mountain Pass Theorem) y el Teorema de Enlace (Linking Theorem), dentro del espacio de Hilbert $H^m_0(\Omega)$. Los desafíos centrales abordados son la falta de compacidad debido al exponente crítico y la presencia de términos no locales.

1. Minimizadores y Funciones Extremales: Los autores primero establecen la existencia de minimizadores para el operador $m$-armónico acoplado con el término de Choquard crítico. Definen la mejor constante $S_{H,L}$ y utilizan la forma explícita de las funciones extremales (funciones burbuja) $U_\varepsilon(x)$, que son versiones recortadas de los minimizadores globales en $\mathbb{R}^N$.
2. Estimaciones de Energía Delicadas: Una parte significativa de la metodología implica derivar estimaciones asintóticas precisas para el funcional de energía $I_\lambda$ evaluado en las funciones de prueba $u_\varepsilon = \phi U_\varepsilon$. Estas estimaciones son cruciales para mostrar que el nivel de energía minimax (nivel de Mountain Pass) se encuentra estrictamente por debajo de un umbral crítico específico:
   $$c < \frac{N+2m-\alpha}{4N-2\alpha} S_{H,L}^{\frac{2N-\alpha}{N+2m-\alpha}}.$$
   Este umbral es necesario para recuperar la compacidad de las sucesiones de Palais-Smale (PS).
3. Recuperación de Compacidad: Utilizando el tipo de lema de Brezis–Lieb adaptado para términos no locales y las estimaciones de energía derivadas, los autores prueban que cualquier sucesión PS en un nivel por debajo del umbral crítico posee una subsucesión fuertemente convergente.
4. Análisis Espectral: Para los casos donde el parámetro $\lambda$ es grande o se encuentra dentro de intervalos espectrales específicos (autovalores de $(-\Delta)^m$), los autores utilizan la descomposición espectral del espacio $H^m_0(\Omega)$ y argumentos de Enlace (Linking) para manejar la naturaleza indefinida del funcional.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo proporciona resultados de existencia bajo diversas condiciones sobre la dimensión $N$, el parámetro $\lambda$ y el exponente $q$:

• Teorema 1.1 (Perturbación Local): Para $1 < q < 2^*_m - 1$, existe una solución no trivial si:
  • $N > \max\left\{ \min\left\{ \frac{2m(q+3)}{q+1}, 2m + \frac{\alpha}{q+1} \right\}, \frac{2m(q+1)}{q} \right\}$ y $\lambda > 0$; O
  • $N \le \max\left\{ \dots \right\}$ y $\lambda$ es suficientemente grande.
• Teorema 1.2 (Perturbación Lineal, $q=1$):
  • Si $N \ge 4m$, existe una solución para $\lambda > 0$ (siempre que $\lambda$ no sea un autovalor).
  • Si $2m+1 \le N \le 4m-1$, existe una solución para $\lambda > \lambda^*$ (donde $\lambda^*$ es un umbral específico), siempre que $\lambda$ no sea un autovalor.
  • La prueba distingue entre los casos $\lambda < \lambda^m_1$ (geometría de Paso de Montaña) y $\lambda > \lambda^m_1$ (geometría de Enlace).
• Teorema 1.3 (Perturbación No Local): Para la ecuación con un término no local subcrítico ($1 < q < 2^*_{\alpha,m}$), existe una solución si:
  • $N > \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ y $\lambda > 0$; O
  • $N \le \frac{2m(q+1)-\alpha}{q-1}$ y $\lambda$ es suficientemente grande.
  • Los autores señalan que la estructura doblemente no local (Choquard crítico + Choquard subcrítico) complica la estimación del nivel de energía minimax, requiriendo un manejo específico de los términos de convolución.
• Teorema 1.4 (Crítico de Sobolev con Perturbación No Local): Se establecen resultados de existencia similares para el problema que involucra el exponente de Sobolev crítico y una perturbación no local subcrítica.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que, según su conocimiento, este es el primer artículo que trata el operador poliarmónico ($m \ge 2$) acoplado con una no linealidad de tipo Choquard crítica. Si bien la literatura previa ha cubierto extensamente las ecuaciones bifarónicas ($m=2$) y las ecuaciones poliarmónicas con no linealidades críticas locales (por ejemplo, Pucci y Serrin, Gazzola), la extensión al entorno de Choquard crítico para un $m$ general es novedosa.

Se afirma que los resultados son nuevos incluso para $m \ge 2$. El artículo extiende con éxito los problemas clásicos de tipo Brezis-Nirenberg a un entorno no local que involucra el término de convolución de Hardy–Littlewood–Sobolev, superando las dificultades específicas que surgen de la estructura "doblemente no local" en el caso de las perturbaciones no locales. El trabajo establece la existencia de minimizadores para el operador asociado y proporciona las estimaciones delicadas necesarias para asegurar que los niveles de energía permanezcan por debajo del umbral crítico requerido para la compacidad.