A higher Gross-Zagier type formula for moduli of shtukas at deeper level

Sintesi Tecnica: Una formula di tipo Gross-Zagier superiore per i moduli di Shtukas a livello più profondo

Enunciato del problema
Il saggio affronta l'estensione delle formule di ordine superiore di Gross-Zagier e Waldspurger, originariamente stabilite da Yun e Zhang per campi di funzioni con strutture di livello square-free (senza quadrati), al caso di livelli non square-free (più profondi).

Nei lavori seminali [YZ17, YZ19], Yun e Zhang hanno relazionato le derivate centrali di ordine superiore delle funzioni L di base change di rappresentazioni automorfe cuspidali con i numeri di auto-intersezione dei cicli di Heegner-Drinfeld sui spazi moduli di $G$-shtukas (dove $G = \text{PGL}_2$). Questi risultati erano limitati a strutture di livello square-free $\Sigma$. Gli autori osservano che l'estensione di tali risultati a livelli più profondi era precedentemente considerata "fuori portata" a causa della mancanza di un appropriato "modello integrale" dello spazio moduli di shtukas in grado di supportare i necessari cicli speciali (cicli di Heegner-Drinfeld) in presenza di leg (gambe) collidenti o molteplicità superiori nel divisore di livello.

Metodologia e nuovo contributo
L'innovazione metodologica primaria è l'introduzione e lo studio rigoroso di spazi moduli di shtukas con strutture di livello "naive" $\Gamma_0(\Sigma)$ per divisori non ridotti.

1. Modelli Integrali Naive: Invece di tentare la costruzione di un modello di livello di Drinfeld completo (che diventa problematico quando le leg collidono o le molteplicità superano l'unità), l'autore definisce lo spazio moduli $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ come uno spazio moduli di shtukas per uno schema affine liscio che codifica la struttura di livello $\Gamma_0(\Sigma)$.

   • L'autore riconosce che, per livelli non square-free, questo modello "naive" corrisponde a un sottostrato aperto dei più intricati modelli integrali definiti tramite strutture di livello di Drinfeld (specificamente, il locus liscio della fibra speciale).
   • Fondamentalmente, l'autore sostiene che i cicli di Heegner-Drinfeld siano supportati interamente su questo sottostrato aperto, rendendo irrilevanti per i calcoli del numero di intersezione le componenti mancanti (come i punti supersingolari e altre componenti che appaiono nel modello di Drinfeld).

2. Analisi Geometrica: Il saggio stabilisce le proprietà geometriche di questi nuovi spazi moduli:

   • Smoothness (Liscia): Lo spazio moduli $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ è dimostrato essere liscio sul campo base $k$ di dimensione $2r$.
   • Flatness (Piattezza): La proiezione alle leg $X^r \times S_\infty$ è piatta di dimensione relativa $r$ e liscia sul locus dove il livello è Iwahori (ridotto).
   • Corrispondenze di Hecke: L'autore estende la definizione di corrispondenze di Hecke e l'azione dell'algebra di Hecke sferica a questi spazi di livello più profondo, dimostrando che esse agiscono sui gruppi di Chow e sulla coomologia.

3. Strumenti Automorfi e Spettrali:

   • Ideale di Eisenstein Modificato: Un nuovo "ideale di Eisenstein modificato" $\tilde{I}^\Sigma_{\text{Eis}}$ è definito all'interno dell'algebra di Hecke per tenere conto delle molteplicità nel divisore $\Sigma$. Questo ideale sostituisce lo standard ideale di Eisenstein usato nel caso square-free.
   • Caratteri Sferici Locali: L'autore calcola i caratteri sferici locali nei luoghi con strutture di livello più profonde (dove l'esponente del conduttore $n_x \geq 2$), utilizzando funzioni di test specifiche (funzioni caratteristiche di $\Gamma_0(\varpi^{n_x}_x)$) e modelli di Whittaker.
   • Formula della Traccia Relativa: Il saggio impiega la formula della traccia relativa di Jacquet, relazionando il carattere sferico globale (e le sue derivate) agli integrali orbitali.
   • Geometrizzazione: Gli integrali orbitali sono geometrizzati come tracce di Frobenius su una fibrata di tipo Hitchin, generalizzando la costruzione in [YZ19] al contesto di livello più profondo.

Risultati Chiave

• Teorema 1.1 (Formula Principale): Il saggio stabilisce una formula di tipo Gross-Zagier superiore per livelli non square-free. Sia $\pi$ una rappresentazione automorfa cuspidale di $\text{PGL}_2(\mathbb{A}_F)$, con conduttore $\Sigma$, e sia $\nu: X' \to X$ un rivestimento quadratico che soddisfa la ipotesi di Heegner generalizzata. Allora:
  $$|\omega_X| q^{\rho/2 - N} \cdot r! \cdot (-\log q)^r \cdot L(\pi, \text{Ad}, 1) \cdot L^{(r)}_{F'/F}(\pi, 0) = (Z^\mu_\pi(\xi), Z^\mu_\pi(\xi))_{\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)}$$
  Dove il lato sinisto coinvolge la derivata $r$-esima della funzione $L$ di base change nel punto centrale, normalizzata dai fattori locali e dal grado del bundle canonico. Il lato destro è il numero di auto-intersezione della componente isotipica di $\pi$ del ciclo di Heegner-Drinfeld sullo spazio moduli di shtukas con livello più profondo.

• Teorema 1.2 (Geometria): Conferma che lo spazio moduli $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ è uno stack di Deligne-Mumford liscio di dimensione $2r$, e che la proiezione alle leg è piatta e liscia sul locus ridotto.

• Teorema 1.3 (Decomposizione Spettrale): Dimostra una decomposizione spettrale della coomologia con supporto compatto di grado intermedio $H^{2r}_c$ sotto l'azione dell'algebra di Hecke. La coomologia si decompone in una parte cuspidale a dimensione finita e una parte supportata sull'ideale di Eisenstein modificato, generalizzando i risultati di [YZ19] ai livelli più profondi.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio rivendica di aver esteso con successo le formule di Yun-Zhang a livelli non necessariamente square-free, rimuovendo così una significativa restrizione nella formula di Gross-Zagier per il caso di campi di funzioni.

• Risoluzione dell'ostacolo del "Modello Integrale": L'autore sostiene che la mancanza di un adatto modello integrale fosse la barriera primaria a questa generalizzazione. Introducendo lo spazio moduli "naive" e dimostrando che esso è sufficiente per la teoria delle intersezioni dei cicli di Heegner-Drinfeld, il saggio supera questo ostacolo.
• Consistenza con la Teoria Esistente: I risultati sono mostrati essere coerenti con il caso square-free (dove il modello naive coincide con quello standard) e con la classica formula di Gross-Zagier per le curve modulari (dove i cicli sono supportati sul locus liscio).
• Potenziale per BSD: L'introduzione nota come queste formule di tipo Gross-Zagier superiore offrano una via per ottenere nuove intuizioni sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (BSD) nel contesto dei campi di funzioni, potenzialmente estendendosi oltre il caso di rango 1, sebbene il saggio si concentri sulla derivazione della formula stessa piuttosto che su immediate applicazioni aritmetiche.

Il lavoro si basa pesantemente sulla strategia di Yun e Zhang, adattando i loro argomenti geometrici e automorfi alle specifiche sfide tecniche poste dai livelli più profondi, in particolare la geometria degli spazi moduli e il calcolo dei fattori locali.