A higher Gross-Zagier type formula for moduli of shtukas at deeper level

Résumé Technique : Une formule de type Gross-Zagier d'ordre supérieur pour les moduli de shtukas à niveau profond

Énoncé du Problème
Le papier traite de l'extension des formules de Gross-Zagier et de Waldspurger d'ordre supérieur, établies initialement par Yun et Zhang pour les corps de fonctions avec des structures de niveau sans facteur carré (square-free), au cas des niveaux non sans facteur carré (profonds).

Dans les travaux fondateurs [YZ17, YZ19], Yun et Zhang ont relié les dérivées centrales d'ordre supérieur des fonctions L de changement de base de représentations automorphes cuspidales aux nombres d'auto-intersection des cycles de Heegner-Drinfeld sur les espaces de moduli de shtukas pour $G$ ($\text{G} = \text{PGL}_2$). Ces résultats étaient restreints aux structures de niveau sans facteur carré $\Sigma$. Les auteurs notent que l'extension de ces résultats à des niveaux plus profonds était auparavant considérée comme « hors de portée » en raison de l'absence d'un « modèle intégral » approprié du moduli space de shtukas capable de supporter les cycles spéciaux nécessaires (cycles de Heegner-Drinfeld) en présence de jambes (legs) se collisionnant ou de multiplicités plus élevées dans le diviseur de niveau.

Méthodologie et Nouvel Apport
L'innovation méthodologique principale est l'introduction et l'étude rigoureuse des espaces de moduli de shtukas avec des structures de niveau « naïves » $\Gamma_0(\Sigma)$ pour des diviseurs non réduits.

1. Modèles Intégraux Naïfs : Au lieu de tenter de construire un modèle complet de structure de niveau de Drinfeld (qui devient problématique lorsque les jambes entrent en collision ou que les multiplicités dépassent un), l'auteur définit l'espace de moduli $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ comme un espace de moduli de shtukas pour un schéma en groupes affine lisse codant la structure de niveau $\Gamma_0(\Sigma)$.

   • L'auteur reconnaît que pour les niveaux non sans facteur carré, ce modèle « naïf » correspond à un substack ouvert des modèles intégraux plus complexes définis via les structures de niveau de Drinfeld (spécifiquement, le lieu lisse de la fibre spéciale).
   • Crucialement, l'auteur soutient que les cycles de Heegner-Drinfeld sont entièrement supportés sur ce substack ouvert, rendant les composantes manquantes (telles que les points supersinguliers et d'autres composantes apparaissant dans le modèle de Drinfeld) non pertinentes pour les calculs de nombres d'intersection.

2. Analyse Géométrique : Le papier établit les propriétés géométriques de ces nouveaux espaces de moduli :

   • Lissé : L'espace de moduli $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ est prouvé être lisse sur le corps de base $k$ de dimension $2r$.
   • Platitude : La projection vers les jambes $X^r \times S_\infty$ est plate de dimension relative $r$ et lisse sur le lieu où le niveau est d'Iwahori (réduit).
   • Correspondances de Hecke : L'auteur étend la définition des correspondances de Hecke et l'action de l'algèbre de Hecke sphérique à ces espaces de niveau plus profond, prouvant qu'ils agissent sur les groupes de Chow et la cohomologie.

3. Outils Automorphes et Spectraux :

   • Idéal d'Eisenstein Modifié : Un nouvel « idéal d'Eisenstein modifié » $\tilde{I}^\Sigma_{\text{Eis}}$ est défini au sein de l'algèbre de Hecke pour rendre compte des multiplicités dans le diviseur $\Sigma$. Cet idéal remplace l'idéal d'Eisenstein standard utilisé dans le cas sans facteur carré.
   • Caractères Sphériques Locaux : L'auteur calcule les caractères sphériques locaux aux endroits possédant des structures de niveau plus profondes (où l'exposant du conducteur $n_x \geq 2$), en utilisant des fonctions tests spécifiques (fonctions caractéristiques de $\Gamma_0(\varpi^{n_x}_x)$) et des modèles de Whittaker.
   • Formule de Trace Relative : Le papier emploie la formule de trace relative de Jacquet, reliant le caractère sphérique global (et ses dérivées) aux intégrales orbitales.
   • Géométrisation : Les intégrales orbitales sont géométrisées comme des traces de Frobenius sur une fibration de type Hitchin, généralisant la construction de [YZ19] au cadre des niveaux plus profonds.

Résultats Clés

• Théorème 1.1 (Formule Principale) : Le papier établit une formule de type Gross-Zagier d'ordre supérieur pour les niveaux non sans facteur carré. Soit $\pi$ une représentation automorphe cuspidale de $\text{PGL}_2(\mathbb{A}_F)$ avec conducteur $\Sigma$, et soit $\nu: X' \to X$ un revêtement quadratique satisfaisant l'hypothèse de Heegner généralisée, alors :
  $$|\omega_X| q^{\rho/2 - N} \cdot r! \cdot (-\log q)^r \cdot L(\pi, \text{Ad}, 1) \cdot L^{(r)}_{F'/F}(\pi, 0) = (Z^\mu_\pi(\xi), Z^\mu_\pi(\xi))_{\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)}$$
  Ici, le côté gauche implique la $r$-ième dérivée de la fonction L de changement de base au point central, normalisée par les facteurs locaux et le degré du fibré canonique. Le côté droit est le nombre d'auto-intersection de la composante $\pi$-isotypique du cycle de Heegner-Drinfeld sur le moduli space de shtukas avec un niveau plus profond.

• Théorème 1.2 (Géométrie) : Confirme que l'espace de moduli $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ est un stack de Deligne-Mumford lisse de dimension $2r$, et que la projection vers les jambes est plate et lisse sur le lieu réduit.

• Théorème 1.3 (Décomposition Spectrale) : Prouve une décomposition spectrale de la cohomologie à support compact de degré moyen $H^{2r}_c$ sous l'action de l'algèbre de Hecke. La cohomologie se décompose en une partie cuspidale de dimension finie et une partie supportée sur l'idéal d'Eisenstein modifié, généralisant les résultats de [YZ19] aux niveaux plus profonds.

Signification et Revendications
Le papier revendique avoir réussi à généraliser les formules de Yun-Zhang aux niveaux non nécessairement sans facteur carré, éliminant ainsi une restriction significative de la formule de Gross-Zagier dans le cas des corps de fonctions.

• Résolution de l'Obstacle du « Modèle Intégral » : L'auteur affirme que l'absence d'un modèle intégral approprié était la principale barrière à cette généralisation. En introduisant le « moduli space naïf » et en démontrant qu'il suffit pour la théorie de l'intersection des cycles de Heegner-Drinfeld, le papier surmonte cet obstacle.
• Cohérence avec la Théorie Existante : Les résultats sont montrés comme étant cohérents avec le cas sans facteur carré (où le modèle naïf coïncide avec le modèle standard) et avec la formule classique de Gross-Zagier pour les courbes modulaires (où les cycles sont supportés sur le lieu lisse).
• Potentiel pour BSD : L'introduction note que ces formules de type Gross-Zagier d'ordre supérieur offrent une voie pour obtenir de nouvelles perspectives sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) dans le cadre des corps de fonctions, potentiellement au-delà du cas de rang 1, bien que le papier se concentre sur la dérivation de la formule elle-même plutôt que sur des applications arithmétiques immédiates.

Le travail repose fortement sur la stratégie de Yun et Zhang, adaptant leurs arguments géométriques et automorphes aux défis techniques spécifiques posés par les structures de niveau plus profondes, particulièrement la géométrie des stacks de moduli et le calcul des facteurs locaux.