A higher Gross-Zagier type formula for moduli of shtukas at deeper level

Resumo Técnico: Uma Fórmula de Tipo Gross-Zagier de Ordem Superior para Móduli de Shtukas em Níveis Mais Profundos

Enunciado do Problema
O artigo aborda a extensão das fórmulas de ordem superior de Gross-Zagier e Waldspurger, originalmente estabelecidas por Yun e Zhang para corpos de funções com estruturas de nível livre de quadrados (square-free), para o caso de níveis não livres de quadrados (mais profundos).

Nos trabalhos seminais [YZ17, YZ19], Yun e Zhang relacionaram as derivadas centrais de ordem superior de funções $L$ de mudança de base de representações automórficas cuspidais aos números de autointerseção de ciclos de Heegner-Drinfeld em espaços de módulos de shtukas para $G = \text{PGL}_2$. Esses resultados estavam restritos a estruturas de nível livre de quadrados $\Sigma$. Os autores observam que a extensão desses resultados para níveis mais profundos era anteriormente considerada "fora de alcance" devido à falta de um "modelo integral" apropriado do espaço de módulos de shtukas que pudesse suportar os ciclos especiais necessários (ciclos de Heegner-Drinfeld) na presença de múltiplas pernas colidindo ou multiplicidades mais altas na divisão de nível.

Metodologia e Novo Input
A principal inovação metodológica é a introdução e o estudo rigoroso de espaços de módulos de shtukas com estruturas de nível $\Gamma_0(\Sigma)$ "ingênuas" para divisores não reduzidos.

1. Modelos Integrais Ingênuos: Em vez de tentar construir um modelo completo de estrutura de nível de Drinfeld (que se torna problemático quando as pernas colidem ou as multiplicidades excedem um), o autor define o espaço de módulos $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ como um espaço de módulos de shtukas para um esquema de grupo suave que codifica a estrutura de nível $\Gamma_0(\Sigma)$.

   • O autor reconhece que, para níveis não livres de quadrados, este modelo "ingênuo" corresponde a um substack aberto dos modelos integrais mais intrincados definidos via estruturas de nível de Drinfeld (especificamente, o locus suave da fibra especial).
   • Crucialmente, o artigo argumenta que os ciclos de Heegner-Drinfeld são suportados inteiramente neste substack aberto, tornando irrelevantes para os cálculos de número de interseção os componentes ausentes (como pontos supersingulares e outros componentes que aparecem no modelo de Drinfeld).

2. Análise Geométrica: O artigo estabelece as propriedades geométricas destes novos espaços de módulos:

   • Suavidade: O espaço de módulos $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ é provado ser suave sobre o corpo base $k$ de dimensão $2r$.
   • Planaridade: A projeção para as pernas $X^r \times S_\infty$ é plana de dimensão relativa e suave sobre o locus onde o nível é de Iwahori (reduzido).
   • Correspondências de Hecke: O autor estende a definição de correspondências de Hecke e a ação da álgebra de Hecke esférica para estes espaços de nível mais profundo, provando que elas atuam nos grupos de Chow e na cohomologia.

3. Ferramentas Automórficas e Espectrais:

   • Ideal de Eisenstein Modificado: Um novo "ideal de Eisenstein modificado" $\tilde{I}^\Sigma_{\text{Eis}}$ é definido dentro da álgebra de Hecke para dar conta das multiplicidades na divisão $\Sigma$. Este ideal substitui o ideal de Eisenstein padrão usado no caso livre de quadrados.
   • Caracteres Esféricos Locais: O autor calcula caracteres esféricos locais em lugares com estruturas de nível mais profundas (onde o expoente do conector $n_x \geq 2$), utilizando funções de teste específicas (funções características de $\Gamma_0(\varpi^{n_x}_x)$) e modelos de Whittaker.
   • Fórmula de Traço Relativo: O artigo emprega a fórmula de traço relativo de Jacquet, relacionando o caráter esférico global (e suas derivadas) a integrais orbitais.
   • Geometrização: As integrais orbitais são geometrizações como traços de Frobenius em uma fibração de tipo Hitchin, generalizando a construção em [YZ19] para o cenário de nível mais profundo.

Principais Resultados

• Teorema 1.1 (Fórmula Principal): O artigo estabelece uma fórmula do tipo Gross-Zagier de ordem superior para níveis não livres de quadrados. Seja $\pi$ uma representação automórfica cuspidal de $\text{PGL}_2(\mathbb{A}_F)$ com conector $\Sigma$, e seja $\nu: X' \to X$ uma cobertura quadrática satisfazendo a hipótese de Heegner generalizada, então:
  $$|\omega_X| q^{\rho/2 - N} \cdot r! \cdot (-\log q)^r \cdot L(\pi, \text{Ad}, 1) \cdot L^{(r)}_{F'/F}(\pi, 0) = (Z^\mu_\pi(\xi), Z^\mu_\pi(\xi))_{\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)}$$
  Aqui, o lado esquerdo envolve a $r$-ésima derivada da função $L$ de mudança de base no ponto central, normalizada por fatores locais e pelo grau do feixe canônico. O lado direito é o número de autointerseção do ciclo de Heegner-Drinfeld componente $\pi$-isotípica no espaço de módulos de shtukas com nível mais profundo.

• Teorema 1.2 (Geometria): Confirma que o espaço de módulos $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ é um stack de Deligne-Mumford suave de dimensão $2r$, e que a projeção para as pernas é plana e suave sobre o locus reduzido.

• Teorema 1.3 (Decomposição Espectral): Prova uma decomposição espectral da cohomologia de suporte compacto de grau médio $H^{2r}_c$ sob a ação da álgebra de Hecke. A cohomologia decompõe-se em uma parte cuspidal de dimensão finita e uma parte suportada no ideal de Eisenstein modificado, generalizando os resultados de [YZ19] para níveis mais profundos.

Significância e Alegações
O artigo alega ter generalizado com sucesso as fórmulas de Yun-Zhang para níveis não necessariamente livres de quadrados, removendo uma restrição significativa na fórmula de Gross-Zagier para corpos de funções.

• Resolução do Obstáculo do "Modelo Integral": O autor afirma que a falta de um modelo integral adequado foi a principal barreira para esta generalização. Ao introduzir o espaço de módulos "ingênuo" e demonstrar que ele é suficiente para a teoria de interseção dos ciclos de Heegner-Drinfeld, o artigo supera este obstáculo.
• Consistência com a Teoria Existente: Os resultados mostram-se consistentes com o caso livre de quadrados (onde o modelo ingênuo coincide com o padrão) e com a fórmula clássica de Gross-Zagier para curvas modulares (onde os ciclos são suportados no locus suave).
• Potencial para BSD: A introdução nota que estas fórmulas de ordem superior de Gross-Zagier oferecem um caminho para obter novos insights sobre a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer (BSD) no cenário de corpos de funções, potencialmente estendendo-se além do caso de posto (rank) 1, embora o foco do artigo seja a própria derivação da fórmula e não aplicações aritméticas imediatas.

O trabalho baseia-se fortemente na estratégia de Yun e Zhang, adaptando seus argumentos geométricos e automórficos aos desafios técnicos específicos impostos pelos níveis mais profundos, particularmente a geometria dos stacks de módulos e o cálculo de fatores locais.