A higher Gross-Zagier type formula for moduli of shtukas at deeper level

Resumen Técnico: Una fórmula de tipo Gross-Zagier superior para módulos de Shtukas de nivel profundo

Planteamiento del problema
El artículo aborda la extensión de las fórmulas de orden superior de Gross-Zagier y Waldspurger, establecidas originalmente por Yun y Zhang para campos de funciones con estructuras de nivel libre de cuadrados, al caso de niveles no libres de cuadrados (profundos).

En los trabajos seminales [YZ17, YZ19], Yun y Zhang relacionaron las derivadas centrales de orden superior de las funciones $L$ de cambio de base de representaciones automórficas cuspidales con los números de auto-intersección de ciclos de Heegner-Drinfeld en espacios de módulos de $G$-shtukas (donde $G = \text{PGL}_2$). Estos resultados estaban restringidos a estructuras de nivel libre de cuadrados $\Sigma$. Los autores señalan que extender estos resultados a niveles más profundos se consideraba anteriormente "fuera de alcance" debido a la falta de un "modelo integral" apropiado del espacio de módulos de shtukas que pudiera soportar los ciclos especiales necesarios (ciclos de Heegner-Drinfeld) en presencia de múltiples patas colisionantes o multiplicidades mayores en el divisor de nivel.

Metodología y nueva aportación
La principal innovación metodológica es la introducción y el estudio riguroso de espacios de módulos de shtukas con estructuras de nivel "naíf" $\Gamma_0(\Sigma)$ para divisores no reducidos.

1. Modelos integrales naíf: En lugar de intentar construir un modelo completo de estructura de nivel de Drinfeld (que se vuelve problemático cuando las patas colisionan o las multiplicidades exceden uno), el autor define el espacio de módulos $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ como un espacio de módulos de shtukas para un esquema de grupo afín suave que codifica la estructura de nivel $\Gamma_0(\Sigma)$.

   • El autor reconoce que, para niveles no libres de cuadrados, este modelo "naíf" corresponde a un substack abierto de los modelos integrales más intrincados definidos mediante estructuras de nivel de Drinfeld (específicamente, el lóbulo suave de la fibra especial).
   • Crucialmente, el artículo argumenta que los ciclos de Heegner-Drinfeld están contenidos enteramente en este substack abierto, lo que hace que los componentes faltantes (como los puntos supersingulares y otros componentes que aparecen en el modelo de Drinfeld) sean irrelevantes para los cálculos de los números de intersección.

2. Análisis geométrico: El artículo establece las propiedades geométricas de estos nuevos espacios de módulos:

   • Suavidad: El espacio de módulos $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ se demuestra que es suave sobre el campo base $k$ de dimensión $2r$.
   • Planaidad: La proyección a las patas $X^r \times S_\infty$ es plana de dimensión relativa $r$ y suave sobre el lóbulo donde el nivel es de Iwahori (reducido).
   • Correspondencias de Hecke: El autor extiende la definición de las correspondencias de Hecke y la acción del álgebra de Hecke esférica a estos espacios de nivel más profundo, demostrando que actúan sobre los grupos de Chow y la cohomología.

3. Herramientas automórficas y espectrales:

   • Ideal de Eisenstein modificado: Se define un nuevo "ideal de Eisenstein modificado" $\tilde{I}^\Sigma_{\text{Eis}}$ dentro del álgebra de Hecke para dar cuenta de las multiplicidades en el divisor $\Sigma$. Este ideal reemplaza al ideal de Eisenstein estándar utilizado en el caso libre de cuadrados.
   • Caracteres esféricos locales: El autor calcula los caracteres esféricos locales en lugares con estructuras de nivel más profundas (donde el exponente del conductor $n_x \geq 2$), utilizando funciones de prueba específicas (funciones características de $\Gamma_0(\varpi^{n_x}_x)$) y modelos de Whittaker.
   • Fórmula de traza relativa: El artículo emplea la fórmula de traza relativa de Jacquet, relacionando el carácter esférico global (y sus derivadas) con integrales orbitales.
   • Geometrización: Las integrales orbitales se geometrizan como trazas de Frobenius en una fibración de tipo Hitchin, generalizando la construcción en [YZ19] al entorno de nivel más profundo.

Resultados clave

• Teorema 1.1 (Fórmula principal): El artículo establece una fórmula de tipo Gross-Zagier superior para niveles no libres de cuadrados. Sea $\pi$ una representación automórfica cuspidal de $\text{PGL}_2(\mathbb{A}_F)$ con conductor $\Sigma$, y sea $\nu: X' \to X$ una cobertura cuadrática que satisfaga la hipótesis de Heegner generalizada, entonces:
  $$|\omega_X| q^{\rho/2 - N} \cdot r! \cdot (-\log q)^r \cdot L(\pi, \text{Ad}, 1) \cdot L^{(r)}_{F'/F}(\pi, 0) = (Z^\mu_\pi(\xi), Z^\mu_\pi(\xi))_{\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)}$$
  Aquí, el lado izquierdo involucra la $r$-ésima derivada de la función $L$ de cambio de base en el punto central, normalizada por factores locales y el grado del haz canónico. El lado derecho es el número de auto-intersección de la componente isotípica de $\pi$ del ciclo de Heegner-Drinfeld en el espacio de módulos de shtukas con nivel más profundo.

• Teorema 1.2 (Geometría): Confirma que el espacio de módulos $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ es un stack de Deligne-Mumford suave de dimensión $2r$, y que la proyección es plana y suave sobre el lóbulo reducido.

• Teorema 1.3 (Descomposición espectral): Demuestra una descomposición espectral de la cohomología de soporte compacto de grado medio $H^{2r}_c$ bajo la acción del álgebra de Hecke. La cohomología se descompone en una parte cuspidal de dimensión finita y una parte soportada en el ideal de Eisenstein modificado, generalizando los resultados de [YZ19] a niveles más profundos.

Significación y afirmaciones
El artículo afirma haber generalizado con éxito las fórmulas de Yun-Zhang a niveles no necesariamente libres de cuadrados, eliminando así una restricción significativa en la fórmula de Gross-Zagier para campos de funciones.

• Resolución del obstáculo del "Modelo Integral": El autor afirma que la falta de un modelo integral adecuado fue la principal barrera para esta generalización. Al introducir el espacio de módulos "naíf" y demostrar que es suficiente para la teoría de intersección de los ciclos de Heegner-Drinfeld, el artículo supera este obstáculo.
• Consistencia con la teoría existente: Los resultados se muestran consistentes con el caso libre de cuadrados (donde el modelo naíf coincide con el estándar) y con la fórmula clásica de Gross-Zagier para curvas modulares (donde los ciclos están contenidos en el lóbulo suave).
• Potencial para BSD: La introducción señala que estas fórmulas de tipo Gross-Zagier superior ofrecen una vía para obtener nuevas perspectivas sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (BSD) en el entorno de campos de funciones, potencialmente extendiéndose más allá del caso de rango 1, aunque el artículo se centra en la derivación de la fórmula en sí misma más que en aplicaciones aritméticas inmediatas.

El trabajo se apoya fuertemente en la estrategia de Yun y Zhang, adaptando sus argumentos geométricos y automórficos a los desafíos técnicos específicos impuestos por las estructuras de nivel más profundo, particularmente la geometría de los stacks de módulos y el cálculo de los factores locales.