A higher Gross-Zagier type formula for moduli of shtukas at deeper level

Technische Samenvatting: Een hogere Gross-Zagier-type formule voor moduli van shtukas met dieper niveau

Probleemstelling
Het artikel behandelt de uitbreiding van de hogere-orde Gross-Zagier- en Waldspurger-formules, oorspronkelijk vastgesteld door Yun en Zhang voor functiekörperen met vierkantvrije (square-free) niveau-structuren, naar het geval van niet-vierkantvrije (diepere) niveaus.

In de baanbrekende werken [YZ17, YZ19] relateerden Yun en Zhang de hogere-orde centrale afgeleiden van base change $L$-functies van cuspidale automorfe representaties aan de zelfdoorsnijdingsgetallen van Heegner-Drinfeld-cycli op moduli ruimten van $G$-shtukas (waarbij $G = \text{PGL}_2$). Deze resultaten waren beperkt tot vierkantvrije niveau-structuren $\Sigma$. De auteurs merken op dat het uitbreiden van deze resultaten naar diepere niveaus voorheen als "onbereikbaar" werd beschouwd vanwege het gebrek aan een geschikt "integraal model" van de moduli ruimte van shtukas dat de noodzakelijke speciale cycli (Heegner-Drinfeld-cycli) zou kunnen ondersteunen in de aanwezigheid van meerdere botsende benen (legs) of hogere multipliciteiten in de niveau-divisor.

Methodologie en Nieuwe Input
De primaire methodologische innovatie is de introductie en rigoureuze studie van moduli ruimten van shtukas met "naïeve" $\Gamma_0(\Sigma)$-niveau-structuren voor niet-gereduceerde divisoren $\Sigma$.

1. Naïeve Integrale Modellen: In plaats van te proberen een volledige Drinfeld niveau-structuur analogue te construeren (wat problematisch wordt wanneer benen botsen of multipliciteiten groter zijn dan één), definieert de auteur de moduli ruimte $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ als een moduli ruimte van shtukas voor een gladde affiene groepsschema die de $\Gamma_0(\Sigma)$-niveau-structuur codeert.

   • De auteur erkent dat voor niet-vierkantvrije niveaus, dit "naïeve" model overeenkomt met een open substack van de meer complexe integrale modellen gedefinieerd via Drinfeld niveau-structuren (specifiek de gladde locus van de speciale vezel).
   • Cruciaal is dat de auteur beargumenteert dat de Heegner-Drinfeld-cycli volledig worden ondersteund op deze open substack, waardoor de ontbrekende componenten (zoals supersinguliere punten en andere componenten die verschijnen in het Drinfeld-model) irrelevant zijn voor de berekeningen van de doorsnijdingsgetallen.

2. Geometrische Analyse: Het artikel vestigt de geometrische eigenschappen van deze nieuwe moduli ruimten:

   • Gladheid (Smoothness): De moduli ruimte $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ wordt bewezen glad te zijn over het basisveld $k$ van dimensie $2r$.
   • Vlakheid (Flatness): De projectie naar de benen $X^r \times S_\infty$ is vlak van relatieve dimensie $r$ en glad over de locus waar het niveau Iwahori is (gereduceerd).
   • Hecke-correspondenties: De auteur breidt de definitie van Hecke-correspondenties en de werking van de sferische Hecke-algebra uit naar deze diepere niveau-ruimten, en bewijst dat deze werken op de Chow-groepen en de cohomologie.

3. Automorfe en Spectrale Instrumenten:

   • Gemodificeerd Eisenstein-ideaal: Een nieuw "gemodificeerd Eisenstein-ideaal" $\tilde{I}^\Sigma_{\text{Eis}}$ wordt gedefinieerd binnen de Hecke-algebra om de multipliciteiten in de divisor $\Sigma$ te accounteren. Dit ideaal vervangt het standaard Eisenstein-ideaal dat gebruikt wordt in het vierkantvrije geval.
   • Lokale Sferische Karakteren: De auteur berekent lokale sferische karakteren op plaatsen met diepere niveau-structuren (waar de conductor exponent $n_x \geq 2$), gebruikmakend van specifieke testfuncties (karakteristieke functies van $\Gamma_0(\varpi^{n_x}_x)$) en Whittaker-modellen.
   • Relatieve Trace Formule: Het artikel maakt gebruik van de relatieve trace formule van Jacquet, die de globale sferische karakter (en respectievelijk de afgeleiden daarvan) relateert aan orbitale integralen.
   • Geometrisering: Orbitale integralen worden gegemetriseerd als sporen van Frobenius op een Hitchin-type fibratie, wat de constructie in [YZ19] generaliseert naar de diepere niveau-setting.

Kernresultaten

• Theorem 1.1 (Hoofdformule): Het artikel stelt een hogere Gross-Zagier-type formule vast voor niet-vierkantvrije niveaus. Laat $\pi$ een cuspidale automorfe representatie van $\text{PGL}_2(\mathbb{A}_F)$ zijn met conductor $\Sigma$, en laat $\nu: X' \to X$ een kwadratische cover zijn die de gegeneraliseerde Heegner-hypothese vervult. Dan geldt:
  $$|\omega_X| q^{\rho/2 - N} \cdot r! \cdot (-\log q)^r \cdot L(\pi, \text{Ad}, 1) \cdot L^{(r)}_{F'/F}(\pi, 0) = (Z^\mu_\pi(\xi), Z^\mu_\pi(\xi))_{\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)}$$
  Hierbij bevat de linkerzijde de $r$-de afgeleide van de base change $L$-functie in het centrale punt, genormaliseerd door lokale factoren en de graad van de canonieke bundel. De rechterzijde is het zelfdoorsnijdingsgetal van de $\pi$-isotypische component van de Heegner-Drinfeld-cyclus op de moduli ruimte van shtukas met dieper niveau.

• Theorem 1.2 (Geometrie): Bevestigt dat de moduli ruimte $\text{Sht}^r_G(\Sigma; \Sigma_\infty)$ een gladde Deligne-Mumford stack is van dimensie $2r$, en dat de projectie naar de benen vlak en glad is over de gereduceerde locus.

• Theorem 1.3 (Spectrale Decompositie): Bewijst een spectrale decompositie van de middelste-graads compact-ondersteunde cohomologie $H^{2r}_c$ onder de werking van de Hecke-algebra. De cohomologie deelt zich op in een einddimensionele cuspidale parte en een deel dat wordt ondersteund op het gemodificeerde Eisenstein-ideaal, wat de resultaten van [YZ19] generaliseert naar diepere niveaus.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt succesvol de Yun-Zhang formules te hebben gegeneraliseerd naar niet noodzakelijkerwijs vierkantvrije niveaus, waarmee een significante restrictie in de functiekörper-analoge van de Gross-Zagier formule wordt opgeheven.

• Resolutie van de "Integrale Model" Obstakel: De auteur claimt dat het gebrek aan een geschikt integraal model de primaire barrière was voor deze generalisatie. Door de "naïeve" moduli ruimte te introduceren en aan te tonen dat deze volstaat voor de doorsnijdingsleer van Heegner-Drinfeld-cycli, overwint het artikel dit obstakel.
• Consistentie met Bestaande Theorie: De resultaten worden getoond consistent te zijn met het vierkantvrije geval (waar het naïeve model samenvalt met het standaard model) en de klassieke Gross-Zagier formule voor modulaire curven (waar de cycli worden ondersteund op de gladde locus).
• Potentieel voor BSD: De introductie merkt op dat deze hogere Gross-Zagier-formules een pad bieden om nieuwe inzichten te verkrijgen in de Birch en Swinnerton-Dyer (BSD) conjectuur in de functiekörper-setting, potentieel verder reikend dan de rang 1 casus, hoewel het artikel zich richt op de afleiding van de formule zelf in plaats van directe arithmetische toepassingen.

Het werk steunt zwaar op de strategie van Yun en Zhang, waarbij hun geometrische en automorfe argumenten worden aangepast aan de specifieke technische uitdagingen van diepere niveau-structuren, in het bijzonder de geometrie van de moduli stacks en de berekening van lokale factoren.