Severity estimation in dependent collective risk models

Sintesi Tecnica: Stima della Severità in Modelli di Rischio Collettivo Dipendenti

Definizione del Problema
Il modello di rischio collettivo (CRM) rappresenta le perdite assicurative aggregate come una somma casuale di singole severità dei sinistri. Le procedure di stima standard assumono l'indipendenza tra frequenza ($N$) e severità ($X$), nonché l'indipendenza tra le severità all'interno di una polizza. Sotto tali assunzioni, l'approccio "margin-first" — che consiste nel adattare la distribuzione della severità ai sinistri aggregati di un portafoglio — è consistente. Tuttavia, nei portafogli reali spesso esiste una dipendenza tra frequenza e severità, così come una dipendenza tra le severità all'interno di una stessa polizza.

Quando tale dipendenza esiste, i sinistri aggregati tra le varie polizze non sono più un campione proveniente dalla distribuzione marginale della severità ($F_X$). Le polizze con un numero maggiore di sinistri contribuiscono in modo sproporzionato al pool di dati. Questo crea un meccanismo di campionamento distorto dalla dimensione (size-biased sampling), in cui la distribuzione empirica dei sinistri aggregati converge alla legge di un sinistro arbitrario osservato ($Y$), anziché alla legge marginale della severità. Di conseguenza, adattare un modello di severità direttamente ai sinistri aggregati non corretti produce stime inconsistenti dei veri parametri di severità, portando a un bias sistematico che non scompare all'aumentare della dimensione del campione.

Metodologia
Il documento propone una procedura di stima della verosimiglianza composita per affrontare questa inconsistenza. La metodologia si basa su due pilastri:

1. Identificazione del Meccanismo di Generazione dei Dati: Gli autori dimostrano che la distribuzione empirica dei sinistri aggregati converge quasi certamente alla funzione di ripartizione (CDF) di un sinistro arbitrario osservato, $F_Y$. Questa distribuzione è una miscela size-biased delle distribuzioni condizionate della severità:
   $$F_Y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n P(N=n)}{E[N]} F_{X|N=n}(x)$$
   Questo risultato identifica la specifica distribuzione che i sinistri aggregati campionano effettivamente, distinta dalla $F_X$ marginale.

2. Costruzione della Verosimiglianza Composita: Inve che tentare di massimizzare la piena verosimiglianza congiunta dei vettori di polizza (che è spesso intrattabile a causa delle derivate delle copule ad alta dimensionalità), gli autori costruiscono una verosimiglianza composita basata su due componenti a bassa dimensionalità:

   • La verosimiglianza marginale dei conteggi dei sinistri ($N$).
   • La verosimiglianza dei sinistri aggregati basata sulla densità del sinistro osservato $f_Y$.

   La log-verosimiglianza composita è la somma della log-verosimiglianza dei conteggi e della log-verosimiglianza delle severità aggregate trattate come disegni indipendenti da $f_Y$.

3. Teoria Asintotica e Stima della Varianza: L'estimatore è dimostrato essere consistente e asintoticamente normale. Fondamentalmente, la varianza asintotica è derivata dalla matrice di informazione di Godambe (un estimatore "sandwich"). Il documento sottolinea che l'unità di campionamento deve essere la polizza, non il singolo sinistro. L'aggregazione degli score a livello di polizza è necessaria per tenere conto della dipendenza tra i sinistri all'interno della polizza e della dimensione casuale del cluster. L'aggregazione a livello di sinistro sottostima la varianza e porta a una copertura inadeguata.

4. Estensione Stepwise: Per i modelli che richiedono parametri di dipendenza di ordine superiore (ad esempio, la dipendenza della severità entro la polizza), il documento delinea una procedura di stima stepwise. Ciò comporta la stima prima dei parametri di frequenza, poi della severità e della dipendenza frequenza-severità, e infine della dipendenza della severità entro la polizza utilizzando i margini condizionati. Un estimatore sandwich "stacked" propaga l'incertezza dai passaggi precedenti.

Contributi Chiave e Risultati

• Dimostrazione Teorica dell'Inconsistenza: Il documento stabilisce formalmente che gli estimatori margin-first (inclusi ML, IFM e i metodi copula basati sul rango) applicati ai sinistri aggregati convergono alla proiezione di Kullback–Leibler della vera distribuzione della severità sulla famiglia adattata, piuttosto che ai veri parametri essi stessi.
• Soluzioni in Forma Chiusa per il CRM di Sarmanov: La metodologia è specializzata per il modello di rischio collettivo di Sarmanov. Utilizzando una rappresentazione a miscela Bernoulli latente, gli autori derivano espressioni in forma chiusa per la densità del sinistro osservato $f_Y$, le leggi condizionate della severità e la media aggregata. Questa trattabilità permette un'implementazione efficiente della verosimiglianza composita.
• Vincoli di Ammissibilità: Il documento fornisce vincoli espliciti sui parametri di dipendenza (ad esempio, $\theta_{01}, \theta_{12}, \theta_{012}$) per garantire che la copula risultante sia valida, derivati dalla non-negatività della funzione di massa di probabilità della variabile Bernoulli latente.
• Evidenza della Simulazione:
  • Correzione del Bias: Uno studio di simulazione dimostra che l'adattamento ingenuo (naive) dei dati aggregati produce un bias significativo nelle stime dei parametri di severità (ad esempio, shape e rate della Gamma) che persiste indipendentemente dalla dimensione del campione. Il proposto metodo di verosimiglianza composita elimina questo bias.
  • Media Aggregata: Interessantemente, sebbene l'estimatore ingenuo fallisca nel recuperare la vera severità marginale, esso stima comunque correttamente la media aggregata ($E[S]$) poiché $E[S] = E[N]E[Y]$, e il fit ingenuo cattura correttamente la media dei sinistri osservati ($E[Y]$).
  • Validità dell'Inferenza: Lo studio conferma che gli intervalli di Godambe a livello di polizza raggiungono la copertura nominale (circa 95%). Al contrario, gli estimatori sandwich a livello di sinistro (che ignorano la dipendenza entro la polizza) causano una grave sottocopertura (scendendo ad esempio all'84% in scenari ad alta frequenza).

Significatività
Il documento sostiene che il suo contributo primario sia l'identificazione della natura size-biased dei sinistri aggregati nei CRM dipendenti e la fornitura di un quadro di stima consistente che corregga tale bias. Argomenta che le procedure standard in due fasi sono fondamentalmente errate in presenza di dipendenza frequenza-severità. Utilizzando la legge del sinistro osservato ($F_Y$) all'interno di un framework di verosimiglianza composita, il metodo recupera i veri parametri di severità marginale e le strutture di dipendenza. Il lavoro colma il divario tra la modellazione del rischio basata sulle copule e la teoria del campionamento size-biased, offrendo una soluzione pratica per la stima attuariale dove le verosimiglianze congiunte complete sono intrattabili. Gli autori notano che, sebbene il modello di Sarmanov sia usato per illustrazione, l'argomento del size-bias si applica generalmente a qualsiasi famiglia di copule con leggi condizionate computabili.