Severity estimation in dependent collective risk models

Resumen Técnico: Estimación de la Severidad en Modelos de Riesgo Colectivo Dependientes

Planteamiento del Problema
El modelo de riesgo colectivo (CRM, por sus siglas en inglés) representa las pérdidas agregadas de seguros como una suma aleatoria de severidades de siniestros individuales. Los procedimientos de estimación estándar asumen independencia entre la frecuencia de los siniestros ($N$) y la severidad ($X$), así como independencia entre las severidades dentro de una póliza. Bajo estos supuestos, el enfoque de "margen primero" —ajustar la distribución de severidad a los siniestros agrupados de una cartera— es consistente. Sin embargo, las carteras del mundo real suelen exhibir dependencia entre la frecuencia y la severidad, así como dependencia entre las severidades dentro de una misma póliza.

Cuando existe tal dependencia, los siniestros agrupados de todas las pólizas ya no son una muestra de la distribución marginal de severidad ($F_X$). En su lugar, las pólizas con un mayor número de siniestros contribuyen desproporcionadamente más siniestros al grupo. Esto crea un mecanismo de muestreo sesgado por tamaño donde la distribución empírica de los siniestros agrupados converge a la ley de un siniestro observado arbitrario ($Y$), en lugar de a la ley de severidad marginal. Por consiguiente, ajustar un modelo de severidad directamente a los siniestros agrupados sin corregir produce estimadores inconsistentes de los parámetros de severidad reales, lo que genera un sesgo sistemático que no desaparece con el tamaño de la muestra.

Metodología
El artículo propone un procedimiento de estimación de verosimilitud compuesta para abordar esta inconsistencia. La metodología se basa en dos pilares:

1. Identificación del Mecanismo Generador de Datos: Los autores demuestran que la distribución empírica de los siniestros agrupados converge casi seguramente a la función de distribución acumulada (CDF) de un siniestro observado, $F_Y$. Esta distribución es una mezcla sesgada por tamaño de las distribuciones de severidad condicionales:
   $$F_Y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n P(N=n)}{E[N]} F_{X|N=n}(x)$$
   Este resultado identifica la distribución específica que realmente muestrean los siniestros agrupados, la cual es distinta de la $F_X$ marginal.

2. Construcción de la Verosimilitud Compuesta: En lugar de intentar maximizar la verosimilitud conjunta completa de los vectores de pólizas (que suele ser intratable debido a las derivadas de copulas de alta dimensión), los autores construyen una verosimilitud compuesta basada en dos componentes de baja dimensión:

   • La verosimilitud marginal de los conteos de siniestros ($N$).
   • La verosimilitud de los siniestros agrupados basada en la densidad del siniestro observado $f_Y$.

   La log-verosimilitud compuesta es la suma de la log-verosimilitud del conteo y la log-verosimilitud de las severidades agrupadas tratadas como extracciones independientes de $f_Y$.

3. Teoría Asintótica y Estimación de Varianza: Se demuestra que el estimador es consistente y asintóticamente normal. Crucialmente, la varianza asintótica se deriva utilizando la información de Godambe (un estimador de tipo "sándwich"). El artículo enfatiza que la unidad de muestreo debe ser la póliza, no el siniestro individual. La agregación de puntuaciones (scores) a nivel de póliza es necesaria para contabilizar la dependencia entre los siniestros dentro de una póliza y el tamaño aleatorio del grupo. La agregación a nivel de siniestro subestima la varianza y provoca una cobertura insuficiente.

4. Extensión por Pasos: Para modelos que requieren parámetros de dependencia de orden superior (por ejemplo, la dependencia de severidad dentro de la póliza), el artículo describe un procedimiento de estimación por pasos. Esto implica estimar primero los parámetros de frecuencia, luego la severidad y la dependencia frecuencia-severidad, y finalmente la dependencia de severidad dentro de la póliza mediante márgenes condicionales. Un estimador de sándwich apilado propaga la incertidumbre de las etapas anteriores.

Contribuciones Clave y Resultados

• Prueba Teórica de Inconsistencia: El artículo establece formalmente que los estimadores de margen primero (incluyendo MLE, IFM y métodos de cópula basados en rangos) aplicados a siniestros agrupados convergen a la proyección de Kullback–Leibler de la verdadera distribución de severidad sobre la familia ajustada, en lugar de a los parámetros reales mismos.
• Soluciones de Forma Cerrada para el CRM de Sarmanov: La metodología se especializa en el modelo de riesgo colectivo de Sarmanov. Utilizando una representación de mezcla de Bernoulli latente, los autores derivan expresiones de forma cerrada para la densidad del siniestro observado $f_Y$, las leyes de severidad condicional y la media agregada. Esta trazabilidad permite una implementación eficiente de la verosimilitud compuesta.
• Restricciones de Admisibilidad: El papel proporciona restricciones explícitas sobre los parámetros de dependencia (por ejemplo, $\theta_{01}, \theta_{12}, \theta_{012}$) para asegurar que la cópula resultante sea válida, derivadas de la no negatividad de la función de masa de probabilidad de la mezcla de Bernoulli latente.
• Evidencia de Simulación:
  • Corrección de Sesgo: Un estudio de simulación demuestra que el ajuste agrupado ingenuo produce un sesgo significativo en las estimaciones de los parámetros de severidad (por ejemplo, la forma y tasa de Gamma) que persiste independientemente del tamaño de la muestra. El método de verosimilitud compuesta propuesto elimina este sesgo.
  • Media Agregada: Curiosamente, aunque el estimador ingenuo falla en recuperar la verdadera severidad marginal, aún estima la media agregada ($E[S]$) de manera consistente porque $E[S] = E[N]E[Y]$, y el ajuste ingenuo captura correctamente la media de los siniestros observados ($E[Y]$).
  • Validez de la Inferencia: El estudio confirma que los intervalos de Godambe a nivel de póliza alcanzan la cobertura nominal (aprox. 95%). En contraste, los estimadores de sándwich a nivel de siniestro (que ignoran la dependencia dentro de la póliza) resultan en una cobertura severamente insuficiente (cayendo, por ejemplo, al 84% en escenarios de alta frecuencia).

Significancia
El artículo sostiene que su principal contribución es la identificación de la naturaleza sesgada por tamaño de los siniestros agrupados en los CRM dependientes y la provisión de un marco de estimación consistente que corrige este sesgo. Argumenta que los procedimientos estándar de dos pasos son fundamentalmente erróneos en presencia de dependencia frecuencia-severidad. Al utilizar la ley del siniestro observado ($F_Y$) dentro de un marco de verosimilitud compuesta, el método recupera los verdaderos parámetros de severidad marginal y las estructuras de dependencia. El trabajo cierra la brecha entre el modelado de riesgo basado en cópulas y la teoría de muestreo sesgado por tamaño, ofreciendo una solución práctica para la estimación actuarial donde las verosimilitudes conjuntas completas son intratables. Los autores señalan que, aunque se utiliza el modelo de Sarmanov para la ilustración, el argumento del sesgo por tamaño es aplicable a cualquier familia de cópulas con leyes condicionales computables.