Severity estimation in dependent collective risk models

Résumé Technique : Estimation de la Sévérité dans les Modèles de Risque Collectif Dépendants

Énoncé du Problème
Le modèle de risque collectif (MRC) représente les pertes d'assurance agrégées comme une somme aléatoire de sévérités de sinistres individuels. Les procédures d'estimation standard supposent l'indépendance entre la fréquence des sinistres ($N$) et la sévérité ($X$), ainsi que l'indépendance entre les sévérités au sein d'une même police. Sous ces hypothèses, l'approche « par la marge d'abord » (margin-first) — consistant à ajuster la distribution de la sévérité aux sinistres regroupés d'un portefeuille — est cohérente. Cependant, dans les portefeuilles réels, il existe souvent une dépendance entre la fréquence et la sévérité, ainsi qu'une dépendance entre les sévérités au sein d'une même police.

Lorsque cette dépendance existe, les sinistres regroupés des différentes polices ne constituent plus un échantillon de la distribution marginale de la sévérité ($F_X$). Au lieu de cela, les polices ayant un nombre de sinistres plus élevé contribuent de manière disproportionnée au pool de données. Cela crée un mécanisme d'échantillonnage biaisé par la taille, où la distribution empirique des sinistres regroupés converge vers la loi d'un sinistre observé arbitraire ($Y$), plutôt que vers la loi de la sévérité marginale. Par conséquent, l'ajustement d'un modèle de sévérité directement sur les sinistres regroupés sans correction produit des estimations incohérentes des vrais paramètres de sévérité, entraînant un biais systématique qui ne disparaît pas avec l'augmentation de la taille de l'échantillon.

Méthodologie
L'article propose une procédure d'estimation par vraisemblance composite pour remédier à cette incohérence. La méthodologie repose sur deux piliers :

1. Identification du Mécanisme de Génération des Données : Les auteurs prouvent que la distribution empirique des sinistres regroupés converge presque sûrement vers la fonction de répartition (CDF) d'un sinistre observé, $F_Y$. Cette distribution est un mélange biaisé par la taille des distributions de sévérité conditionnelles :
   $$F_Y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n P(N=n)}{E[N]} F_{X|N=n}(x)$$
   Ce résultat identifie la distribution spécifique que les sinistres regroupés échantillonnent réellement, laquelle est distincte de la loi marginale $F_X$.

2. Construction de la Vraisemblance Composite : Plutôt que de tenter de maximiser la pleine vraisemblance jointe des vecteurs de polices (ce qui est souvent insoluble en raison des dérivées de copules de haute dimension), les auteurs construisent une vraisemblance composite basée sur deux composantes de faible dimension :

   • La vraisemblance marginale des nombres de sinistres ($N$).
   • La vraisemblance des sévérités regroupées basée sur la densité du sinistre observé $f_Y$.

   La log-vraisemblance composite est la somme de la log-vraisemblance des comptes et de la log-vraisemblance des sévéités regroupées traitées comme des tirages indépendants de $f_Y$.

3. Théorie Asymptotique et Estimation de la Variance : L'estimateur est montré comme étant cohérent et asymptotiquement normal. Crucialement, la variance asymptotique est dérivée de la matrice d'information de Godambe (un estimateur « sandwich »). L'article souligne que l'unité d'échantillonnage doit être la police, et non le sinistre individuel. L'agrégation des scores au niveau de la police est nécessaire pour tenir compte de la dépendance entre les sinistres au sein d'une police et de la taille aléatoire des clusters. L'agrégation au niveau du sinistre sous-estime la variance et conduit à une mauvaise couverture.

4. Extension par Étapes : Pour les modèles nécessitant des paramètres de dépendance d'ordre supérieur (par exemple, la dépendance de sévérité intra-police), l'article expose une procédure d'estimation par étapes. Cela implique d'estimer d'abord les paramètres de fréquence, puis la sévérité et la dépendance fréquence-sévérité, et enfin la dépendance intra-police à l'aide de marges conditionnelles. Un estimateur sandwich empilé propage l'incertitude des étapes précédentes.

Contributions Clés et Résultats

• Preuve Théorique d'Incohérence : L'article établit formellement que les estimateurs « par la marge d'abord » (incluant le Maximum de Vraisemblance, l'IFM et les méthodes de copule basées sur les rangs) appliqués aux sinistres regroupés convergent vers la projection de Kullback–Leibler de la véritable distribution de sévérité sur la famille ajustée, plutôt que vers les vrais paramètres eux-mêmes.
• Solutions à Forme Fermée pour le CRM de Sarmanov : La méthodologie est spécialisée pour le modèle de risque collectif de Sarmanov. En utilisant une représentation par mélange de Bernoulli latente, les auteurs dérivent des expressions à forme fermée pour la densité du sinistre observé $f_Y$, les lois de sévérité conditionnelles et la moyenne agrégée. Cette tractabilité permet une mise en œuvre efficace de la vraisemblance composite.
• Contraintes d'Admissibilité : L'article fournit des contraintes explicites sur les paramètres de dépendance (par exemple, $\theta_{01}, \theta_{12}, \theta_{012}$) pour garantir la validité de la copule, dérivées de la non-négativité de la fonction de masse de probabilité de Bernoulli latente.
• Preuves par Simulation :
  • Correction du Biais : Une étude de simulation démontre que l'ajustement naïf par regroupement produit un biais significatif dans les estimations des paramètres de sévérité (par exemple, le paramètre de forme et de taux de la Gamma) qui persiste quel que soit la taille de l'échantillon. Le composite de vraisemblance proposé élimine ce biais.
  • Moyenne Agrégée : Curieusement, bien que l'estimateur naïf échoue à récupérer la véritable marge de sévérité, il estime toujours la moyenne agrégée ($E[S]$) de manière cohérente car $E[S] = E[N]E[Y]$, et l'ajustement naïf capture correctement la moyenne des sinistres observés ($E[Y]$).
  • Validité de l'Inférence : L'étude confirme que les intervalles de Godambe au niveau de la police atteignent une couverture nominale (environ 95 %). En revanche, les estimateurs sandwich au niveau du sinistre (qui ignorent la dépendance intra-police) entraînent une sous-couverture sévère (tombant par exemple à 84 % dans les scénarios à haute fréquence).

Signification
L'article affirme que sa principale contribution est l'identification de la nature biaisée par la taille des sinistres regroupés dans les MRC dépendants et la fourniture d'un cadre d'estimation cohérent qui corrige ce biais. Il soutient que les procédures standards en deux étapes sont fondamentalement erronées en présence de dépendance fréquence-sévérité. En utilisant la loi du sinistre observé ($F_Y$) au sein d'un cadre de vraisemblance composite, la méthode récupère les vrais paramètres de sévérité marginaux et les structures de dépendance. Ce travail comble le fossé entre la modélisation de risque par copule et la théorie de l'échantillonnage biaisé par la taille, offrant une solution pratique pour l'estimation actuarielle là où les vraisemblances jointes complètes sont intraitables. Les auteurs notent que si le modèle de Sarmanov est utilisé pour l'illustration, l'argument du biais de taille s'applique généralement à toute famille de copules possédant des lois conditionnelles calculables.