Severity estimation in dependent collective risk models

Technische Samenvatting: Ernstschatting in Afhankelijke Collectieve Risicomodellen

Probleemstelling
Het collectieve risicomodel (CRM) representeert geaggregeerde verzekeringsschades als een willekeurige som van individuele schade-ernst (severity). Standaard schattingsprocedures gaan uit van onafhankelijkheid tussen frequentie ($N$) en ernst ($X$), evenals onafhankelijkheid tussen de ernstwaarden binnen een polis. Onder deze aannames is de "margin-first" benadering — waarbij de ernstverdeling wordt gefit op de gepoolde claims over een portfolio — consistent. Wanneer dergelijke afhankelijkheid echter bestaat, zijn de claims die over polissen heen gepoold worden, niet langer een steekproef uit de marginale ernstverdeling ($F_X$). In plaats daarvan dragen polissen met een hoger aantal claims onevenredig veel bij aan de pool. Dit creëert een selectiemechanisme met een selectie-bias (size-biased sampling), waarbij de empirische verdeling van de gepoolde claims convergeert naar de wet van een willekeurige geobserveerde claim ($Y$), in plaats van de marginale ernstwet. Bijgevolg leidt het direct fitten van een ernstmodel op ongecorrigeerde gepoolde claims tot inconsistente schattingen van de ware ernstparameters, wat leidt tot een systematische bias die niet verdwijnt naarmate de steekproefomvang groter wordt.

Methodologie
Het artikel stelt een procedure voor voor de schatting van de samengestelde waarschijnlijkheid (composite likelihood) om deze inconsistentie aan te pakken. De methodologie rust op twee pijlers:

1. Identificatie van het datagenererende mechanisme: De auteurs bewijzen dat de empirische verdeling van gepoolde claims bijna zeker convergeert naar de cumulatieve distributiefunctie (CDF) van een willekeurige geobserveerde claim, $F_Y$. Deze verdeling is een size-biased mengeling van de conditionele ernstverdelingen:
   $$F_Y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n P(N=n)}{E[N]} F_{X|N=n}(x)$$
   Dit resultaat identificeert de specifieke verdeling die de gepoolde claims daadwerkelijk samplen, welke verschilt van de marginale $F_X$.

2. Constructie van de samengestelde waarschijnlijkheid (Composite Likelihood): In plaats van te proberen de volledige gezamenlijke waarschijnlijkheid (joint likelihood) van de polisvectoren te maximaliseren (wat vaak onhandelbaar is vanwege de hoogdimensionale copula-afgeleiden), construeren de auteurs een samengestelde waarschijnlijkheid gebaseerd op twee laagdimensionale componenten:

   • De marginale waarschijnlijkheid van de claim-aantallen ($N$).
   • De waarschijnlijkheid van de gepoolde ernstwaarden gebaseerd op de geobserveerde-claim-dichtheid $f_Y$.

   De samengestelde log-waarschijnlijkheid is de som van de count log-waarschijnlijkheid en de log-waarschijnlijkheid van de gepoolde ernstwaarden, behandeld als onafhankelijke trekken uit $f_Y$.

3. Asymptotische Theorie en Variantie-inschatting: Er wordt aangetoond dat de schatter consistent en asymptotisch normaal is. Cruciaal is dat de asymptotische variantie wordt afgeleid met behulp van de Godambe-informatie matrix (een "sandwich"-estimator). Het artikel benadrukt dat de eenheid van bemonstering de polis moet zijn, en niet de individuele claim. Het aggregeren van scores op polisniveau is noodzakelijk om rekening te houden met de afhankelijkheid tussen claims binnen een polis en de willekeurige clustergrootte. Aggregeren op claimniveau onderschat de variantie en leidt tot onjuiste dekking (undercoverage).

4. Stapsgewijze Uitbreiding: Voor modellen die hogere-orde afhankelijkheidsparameters vereisen (bijv. afhankelijkheid van de ernst binnen een polis), schetst het artikel een stapsgewijze schattingsprocedure. Dit houdt in dat eerst de frequentieparameters worden geschat, gevolgd door de ernst en de frequentie-ernst afhankelijkheid, en tot slot de ernst-afhankelijkheid binnen de polis met behulp van conditionele marges. Een gestapelde sandwich-estimator propageert de onzekerheid van de eerdere stappen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Theoretisch Bewijs van Inconsistentie: Het artikel stelt formeel vast dat "margin-first" schatters (inclusief ML, IFM en ranggebaseerde copula-methoden) toegepast op gepoolde claims convergeren naar de Kullback–Leibler projectie van de ware ernstverdeling op de gefitte familie, in plaats naar de ware parameters zelf.
• Gesloten Vorm Oplossingen voor de Sarmanov CRM: De methodologie is gespecialiseerd voor het Sarmanov collectieve risicomodel. Met behulp van een latente Bernoulli-mengvorm leidt de auteurs een gesloten vorm af voor de geobserveerde-claim-dichtheid $f_Y$, de conditionele ernstwetten en de geaggregeerde verwachtingswaard. Deze tractabiliteit maakt een efficiënte implementatie van de samengestelde waarschijnlijkheid mogelijk.
• Toelaatbaarheidsbeperkingen: Het artikel biedt expliciete beperkingen voor de afhankelijkheidsparameters (bijv. $\theta_{01}, \theta_{12}, \theta_{012}$) om te garanderen dat de resulterende copula geldig is, afgeleid van de niet-negativiteit van de latente Bernoulli kansmassa-functie.
• Simulatiebewijs:
  • Bias-correctie: Een simulatiestudie toont aan dat naïeve pooling bij het fitten significante bias produceert in de schattingen van de ernstparameters (bijv. Gamma shape en rate), die onveranderd blijft ongeacht de steekproefomvang. De voorgestelde samengestelde waarschijnlijkheid verwijdert deze bias.
  • Geaggregeerde Gemiddelde: Interessant genoeg, hoewel de naïeve schatter faalt in het herstellen van de ware ernst-marginale verdeling, schat hij nog steeds de geaggregeerde verwachtingswaarde ($E[S]$) consistent, omdat $E[S] = E[N]E[Y]$ en de naïeve fit de gemiddelde waarde van de geobserveerde claims ($E[Y]$) correct vastlegt.
  • Validiteit van Inferentie: De studie bevestigt dat de Godambe-intervallen op polisniveau de nominale dekking (ca. 95%) bereiken. In contrast hiermee resulteren sandwich-estimators op claimniveau (die de afhankelijkheid binnen de polis negeren) in ernstige onderdekking (bijv. dalend naar 84% in scenario's met een hoge frequentie).

Betekenis
Het artikel stelt dat de primaire bijdrage de identificatie is van de "size-biased" natuur van gepoolde claims in afhankelijke CRM's en het bieden van een consistent schattingskader dat deze bias corrigeert. Het betoogt dat standaard twee-staps procedures fundamenteel gebrekkig zijn in de aanwezigheid van frequentie-ernst afhankelijkheid. Door de wet van de geobserveerde claim ($F_Y$) te gebruiken binnen een raamwerk van samengestelde waarschijnlijkheid, herstelt de methode de ware marginale ernstparameters en afhankelijkheidsstructuren. Het werk overbrugt de kloof tussen copula-gebaseerde risicomodellering en de theorie van size-biased sampling, en biedt een praktische oplossing voor actuariële schattingen waar volledige gezamenlijke waarschijnlijkheden onhandelbaar zijn. De auteurs merken op dat hoewel het Sarmanov-model wordt gebruikt voor illustratie, het size-bias argument algemeen van toepassing is op elke copula-familie met berekenbare conditionele wetten.