Severity estimation in dependent collective risk models

Resumo Técnico: Estimativa de Severidade em Modelos de Risco Coletivo Dependentes

Definição do Problema
O modelo de risco coletivo (MRC) representa perdas de seguros agregadas como uma soma aleatória de severidades de sinistros individuais. Os procedimentos padrão de estimativa assumem independência entre a frequência ($N$) e a severidade ($X$), bem como independência entre as severidades dentro de uma apólice. Sob essas premissas, a abordagem "margem primeiro" — ajustar a distribuição de severidade aos sinistros agrupados de um portfólio — é consistente. No entanto, portfólios do mundo real frequentemente exibem dependência entre frequência e severidade, assim como dependência entre as severidades dentro de uma mesma apólice.

Quando tal dependência existe, os sinistros agrupados de todas as apólices não são mais uma amostra da distribuição de severidade marginal ($F_X$). Políticas com contagens de sinistros mais elevadas contribuem desproporcionalmente mais sinistros para o agrupamento. Isso cria um mecanismo de amostragem com viés de tamanho (size-biased sampling), onde a distribuição empírica dos sinistros agrupados converge para a lei de um sinistro observado arbitrário ($Y$), em vez da lei de severidade marginal. Consequentemente, ajustar um modelo de severidade diretamente aos sinistros agrupados sem correção resulta em estimativas inconsistentes dos parâmetros de severidade reais, gerando um viés sistemático que não desaparece com o aumento do tamanho da amostra.

Metodologia
O artigo propõe um procedimento de estimativa de verossimilhança composta para abordar essa inconsistência. A metodologia baseia-se em dois pilares:

1. Identificação do Mecanismo Gerador de Dados: Os autores provam que a distribuição empírica dos sinistros agrupados converge quase certamente para a função de distribuição acumulada (FDA) de um sinistro observado, $F_Y$. Esta distribuição é uma mistura com viés de tamanho das distribuições de severidade condicionais:
   $$F_Y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n P(N=n)}{E[N]} F_{X|N=n}(x)$$
   Este resultado identifica a distribuição específica que os sinistros agrupados realmente amostram, distinta da marginal $F_X$.

2. Construção da Verossimilhança Composta: Em vez de tentar maximizar a verossimilhança conjunta completa dos vetores de apólice (que é frequentemente intratável devido às derivadas de cópulas de alta dimensão), os autores constroem uma verossimilhança composta baseada em dois componentes de baixa dimensão:

   • A verossimilhança marginal das contagens de sinistros ($N$).
   • A verossimilhança dos sinistros agrupados baseada na densidade do sinistro observado $f_Y$.

   A log-verossimilhança composta é a soma da log-verossimilhança da contagem e da log-verossimilhança das severidades agrupadas tratadas como extrações independentes de $f_Y$.

3. Teoria Assintótica e Estimativa de Variância: O estimador é mostrado como consistente e assintoticamente normal. Crucialmente, a variância assintótica é derivada utilizando a informação de Godambe (um estimador "sanduíche"). O artigo enfatiza que a unidade de amostragem deve ser a apólice, e não o sinistro individual. A agregação dos escores ao nível da apólice é necessária para considerar a dependência entre os sinistros dentro de uma apólice e o tamanho aleatório do agrupamento (cluster). A agregação ao nível do sinistro subestima a variância e leva a uma cobertura insuficiente.

4. Extensão por Etapas: Para modelos que exigem parâmetros de dependência de ordem superior (ex: dependência de severidade dentro da apólice), o artigo delineia um procedimento de estimativa por etapas. Isso envolve estimar primeiro os parâmetros de frequência, depois a severidade e a dependência frequência-severidade, e finalmente a dependência de severidade dentro da apólice usando marginais condicionais. Um estimador sanduíche empilhado propaga a incerteza das etapas anteriores.

Principidades e Resultados Chave

• Prova Teórica de Inconsistência: O artigo estabelece formalmente que estimadores de margem primeiro (incluindo Máxima Verossimilhança, IFM e métodos de cópula baseados em postos) aplicados a sinistros agrupados convergem para a projeção de Kullback–Leibler da verdadeira distribuição de severidade sobre a família ajustada, em vez dos parâmetros reais.
• Soluções de Forma Fechada para o CRM de Sarmanov: A metodologia é especializada para o modelo de risco coletivo de Sarmanov. Usando uma representação de mistura de Bernoulli latente, os autores derivam expressões de forma fechada para a densidade do sinistro observado $f_Y$, as leis de severidade condicionais e a média agregada. Essa tratabilidade permite uma implementação eficiente da verossimilhança composta.
• Restrições de Admissibilidade: O artigo fornece restrições explícitas sobre os parâmetros de dependência (ex: $\theta_{01}, \theta_{12}, \theta_{012}$) para garantir que a cópula resultante seja válida, derivadas da não negatividade da função de massa de probabilidade de Bernoulli latente.
• Evidência de Simulação:
  • Correção de Viés: Um estudo de simulação demonstra que o ajuste agrupado ingênuo produz um viés significativo nas estimativas dos parâmetros de severidade (ex: forma e taxa da Gamma) que persiste independentemente do tamanho da amostra. O ajuste de verossimilhança composta proposto remove esse viés.
  • Média Agregada: Curiosamente, embora o estimador ingênuo falhe em recuperar a verdadeira margem de severidade, ele ainda estima a média agregada ($E[S]$) de forma consistente porque $E[S] = E[N]E[Y]$, e o ajuste ingênuo captura corretamente a média dos sinistros observados ($E[Y]$).
  • Validade da Inferência: O estudo confirma que os intervalos de Godambe ao nível da apólice alcançam a cobertura nominal (aprox. 95%). Em contraste, os estimadores sanduíche ao nível do sinistro (que ignoram a dependência dentro da apólice) resultam em uma cobertura severamente insuficiente (caindo para 84% em cenários de alta frequência).

Significância
O artigo afirma que sua principal contribuição é a identificação da natureza com viés de tamanho dos sinistros agrupados em MRCs dependentes e o fornecimento de um framework de estimativa consistente que corrige esse viço. Argumenta-se que os procedimentos padrão de duas etapas são fundamentalmente falhos na presença de dependência frequência-severidade. Ao utilizar a lei do sinistro observado ($F_Y$) dentro de um framework de verossimilhança composta, o método recupera os verdadeiros parâmetros de severidade marginal e as estruturas de dependência. O trabalho une a lacuna entre a modelagem de risco baseada em cópulas e a teoria de amostragem com viés de tamanho, oferecendo uma solução prática para a estimativa atuarial onde as verossimilhanças conjuntas completas são intratáveis. Os autores observam que, embora o modelo de Sarmanov seja usado para ilustração, o argumento do viés de tamanho aplica-se genericamente a qualquer família de cópulas com leis condicionais computáveis.