A numerical study to analyze the interplay of Weissenberg number and viscosity ratio in a log-strain tensorial model for viscoelastic fluids

Sintesi Tecnica: Analisi Numerica del Modello Tensoriale Log-Strain per Fluidi Viscoelastici

Enunciato del Problema
Questo studio affronta le sfide computazionali associate alla simulazione di fluidi viscoelastici, concentrandosi specificamente sull'interazione tra il numero di Weissenberg ($Wi$) e il rapporto di viscosità ($\xi$). Il rapporto di viscosità è definito come il rapporto tra il contributo polimerico alla viscosità effettiva ($\eta_p = \kappa\tau_r$) e la viscosità del solvente ($\eta$). Mentre il ruolo di $Wi$ nei flussi viscoelastici è ben documentato, l'influenza indipendente di $\xi$ viene spesso trascurata. Inoltre, le simulazioni numeriche ad alto $Wi$ incontrano frequentemente il Problema dell' Alto Numero di Weissenberg (HWNP), caratterizzato dalla perdita di positività definita del tensore di conformazione e dal breakdown numerico in regioni con elevati tassi di deformazione. Gli autori investigano un modello tensoriale log-strain recentemente proposto, che utilizza una relazione logaritmica tra stress elastico e deformazione elastica, per esplorare sistematicamente questi parametri.

Metodologia
Gli autori impiegano una formulazione a elementi finiti mista e stabilizzata per risolvere le equazioni governanti del modello log-strain. La metodologia comprende i seguenti componenti chiave:

• Equazioni Goveranti: Il modello descrive l'evoluzione del tensore di deformazione elastica ($B_{el}$) utilizzando una derivata upper-convected bilanciata da un termine di rilassamento non lineare che coinvolge $\log B_{el}$. Lo stress elastico è definito come $T_{el} = \kappa \log B_{el}$. Questa formulazione preserva intrinsecamente la simmetria e la positività definita del tensore di deformazione.
• Discretizzazione Temporale: Viene utilizzato uno schema Backward Euler del primo ordine semi-implicito. Per disaccoppiare i campi cinematici dalle non linearità, i termini convettivi e costitutivi di rilassamento vengono linearizzati utilizzando quantità note dal passo temporale precedente.
• Trattamento dell'Advezione: L'evoluzione del tensore di deformazione è gestita tramite una formulazione di derivata di Lie generalizzata. Viene impiegata una mappatura caratteristica semi-Lagrangiana per aggiornare il campo tensoriale, garantendo l'invarianza di frame e migliorando la stabilità. Un passaggio di proiezione viene applicato ad ogni incremento per imporre rigorosamente i vincoli di determinante e positività definita di $B_{el}$.
• Discretizzazione Spaziale: Il dominio spaziale è discretizzato utilizzando elementi Lagrange continui di ordine uguale (P1-P1) per velocità e pressione, ed elementi di Galerkin discontinui (DG0) per il tensore di deformazione. Per aggirare la condizione inf-sup e stabilizzare la soluzione, viene applicato il framework Variational Multiscale (VMS) al sistema velocità-pressione. Il campo del tensore di deformazione è stabilizzato attraverso la discretizzazione temporale e il trattamento della derivata di Lie, rendendo superflua un'ulteriore stabilizzazione VMS per il tensore nei regimi testati.
• Casi di Benchmark: Lo studio analizza tre flussi paradigmatici guidati da pressione: flusso in un canale rettilineo, flusso attorno a un cilindro e flusso attraverso una contrazione planare 4:1. Le simulazioni sono condotte a bassi numeri di Reynolds ($Re \ll 1$) per isolare gli effetti di elasticità e dissipazione.

Contributi Chiave e Risultati

1. Ruolo del Rapporto di Viscosità ($\xi$):
   Lo studio dimostra che $\xi$ è un parametro critico nel determinare l'entità del comportamento non newtoniano all'aumentare di $Wi$.

   • Nei flussi in canale rettilineo, per bassi valori di $\xi$, i profili di velocità rimangono approssimativamente parabolici. All'aumentare di $\xi$, i profili sviluppano una regione "a tappo" (plug-like) vicino alla linea centrale, caratteristica dei fluidi shear-thinning. Questa regione a tappo si restringe all'aumentare di $Wi$, ma il fenomeno è osservabile solo quando $\xi$ è sufficientemente grande.
   • I risultati indicano che il solo $Wi$ non detta le proprietà del flusso; l'entità di $\xi$ determina il grado di shear-thinning e la conseguente deviazione dai profili newtoniani.

2. Riduzione della Resistenza e Flusso Attorno a un Cilindro:
   Le simulazioni del flusso attorno a un cilindro rivelano un effetto di riduzione della resistenza coerente con il comportamento shear-thinning. Il coefficiente di drag ($C_D$) diminuisce all'aumentare del tasso di deformazione efficace. Lo studio evidenzia che per alti valori di $\xi$, il modello mostra una forte dipendenza dal tipo di flusso locale. Sebbene il modello mostri shear-thinning in semplice taglio, non mostra dipendenza dal tasso in flussi estensionali, una caratteristica che lo distingue da modelli più semplici.

3. Contrazione Planare 4:1:
   Nel flusso di contrazione, il modello predice una variazione non monotona della dimensione del vortice d'angolo all'aumentare di $Wi$. Significativamente, la nucleazione di vortici secondari di labbro è completamente assente nell'intervallo parametrico investigato. Questa assenza è coerente con il comportamento dei modelli shear-thinning (es. PTT, Giesekus), dove gli elevati tassi di deformazione vicino all'angolo di rientro riducono la resistenza viscosa, impedendo la formazione di zone di ricircolo secondarie spesso osservate in modelli a viscosità costante come l'Oldroyd-B.

4. Confronto con i Modelli di Fluido Newtoniano Generalizzato (GNF):
   Gli autori hanno confrontato le soluzioni del modello log-strain con un modello GNF in cui la viscosità è stata adattata per corrispondere al comportamento shear-thinning del modello log-strain in semplice taglio.

   • Canale Rettilineo: Il modello GNF e il modello log-strain hanno prodotto profili di velocità quasi identici (errore relativo ~2.6%), confermando che in flussi dominati da semplice taglio, una viscosità dipendente dal tasso è sufficiente.
   • Flusso Attorno a un Cilindro: Sono emerse discrepanze significative tra i due modelli. I profili di velocità differivano non solo per un fattore di scala, ma anche nella forma. Gli autori attribuiscono ciò alla presenza di regioni di flusso estensionale a monte e a valle del cilindro, dove la dipendenza della viscosità del modello GNF (derivata dal taglio) non riesce a catturare i meccanismi di dissipazione del modello tensoriale completo log-strain.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo afferma che il modello log-strain, combinato con il proposto schema numerico stabilizzato, simula con successo flussi viscoelastici fino a numeri di Weissenberg relativamente elevati ($Wi \sim 35$) senza il breakdown numerico tipico dell'HWNP. Lo studio sottolinea che il rapporto di viscosità $\xi$ è un fattore indipendente e cruciale per generare profili di flusso non newtoniani, una sfumatura spesso trascurata quando ci si concentra esclusivamente su $Wi$.

Inoltre, il confronto con il modello GNF sottolinea i limiti delle approssimazioni inelastiche. Sebbene i modelli GNF possano bastare per flussi dominati da semplice taglio, il modello log-strain cattura caratteristiche reologiche essenziali dipendenti dal tipo di flusso (taglio vs estensione), necessarie per predire accuratamente i flussi in geometrie complesse. Gli autori concludono che la struttura matematica intrinseca del modello log-strain, che preserva la positività definita del tensore di conformazione, è vitale per la stabilità numerica e l'ammissibilità fisica.

Direzioni Future
Gli autori suggeriscono che il lavoro futuro dovrebbe concentrarsi sullo sviluppo di metodi computazionali capaci di gestire flussi tridimensionali e geometrie più complesse, nonché sull'investigazione dell'interazione tra inerzia ed elasticità ad elevati numeri di Reynolds. Inoltre, propongono di estendere il modello costitutivo per includere molteplici modi di rilassamento o tempi di rilassamento dipendenti dallo stato.