A numerical study to analyze the interplay of Weissenberg number and viscosity ratio in a log-strain tensorial model for viscoelastic fluids

Resumen Técnico: Análisis Numérico del Modelo Tensorial de Log-Deformación para Fluidos Viscoelásticos

Planteamiento del Problema
Este estudio aborda los desafíos computacionales asociados con la simulación de fluidos viscoelásticos, centrándose específicamente en la interacción entre el número de Weissenberg ($Wi$) y la razón de viscosidad ($\xi$). La razón de viscosidad se define como la relación entre la contribución polimérica a la viscosidad efectiva ($\eta_p = \kappa\tau_r$) y la viscosidad del solvente ($\eta$). Si bien el papel del $Wi$ en flujos viscoelásticos está bien documentado, la influencia independiente de $\xi$ a menudo se descuida. Además, las simulaciones numéricas con $Wi$ altos encuentran frecuentemente el Problema del Alto Número de Weissenberg (HWNP, por sus siglas en inglés), caracterizado por la pérdida de la definición positiva del tensor de conformación y la ruptura numérica en regiones de altas tasas de deformación. Los autores investigan un modelo de log-deformación propuesto recientemente, el cual utiliza una relación logarítmica entre el esfuerzo elástico y la deformación elástica, para explorar estos parámetros sistemáticamente.

Metodología
Los autores emplean una formulación de elementos finitos mixta y estabilizada para resolver las ecuaciones de gobierno del modelo de log-deformación. La metodología comprende los siguientes componentes clave:

• Ecuaciones de Gobierno: El modelo describe la evolución del tensor de deformación elástica ($B_{el}$) utilizando una derivada convectiva balanceada por un término de relajación no lineal que involucra $\log B_{el}$. El esfuerzo elástico se define como $T_{el} = \kappa \log B_{el}$. Esta formulación preserva intrínsecamente la simetría y la definición positiva del tensor de deformación.
• Discretización Temporal: Se utiliza un esquema de Euler hacia atrás de primer orden semi-implícito. Para desacoplar los campos cinemáticos de las no linealidades, los términos convectivos y de relajación constitutivos se linealizan utilizando cantidades conocidas del paso de tiempo anterior.
• Tratamiento de la Advección: La evolución del tensor de deformación se gestiona mediante una formulación de derivada de Lie generalizada. Se emplea un mapeo característico semi-Lagrangiano para actualizar el campo tensorial, asegurando la invarianza de marco y mejorando la estabilidad. Se aplica un paso de proyección en cada incremento para imponer estrictamente las restricciones de determinante y definición positiva de $B_{el}$.
• Discretización Espacial: El dominio espacial se discretiza utilizando elementos de Lagrange continuos de orden igual (P1-P1) para velocidad y presión, y elementos de Galerkin discontinuos de orden cero (DG0) para el tensor de deformación. Para evitar la condición inf-sup y estabilizar la solución, se aplica el marco de la Multiescala Variacional (VMS) al sistema velocidad-presión. El campo del tensor de deformación se estabiliza mediante la discretización temporal y el tratamiento de la derivada de Lie, lo que hace que la estabilización adicional de VMS para el tensor sea innecesaria en los regímenes probados.
• Casos de Referencia: El estudio analiza tres flujos de presión paradigmáticos: flujo en un canal recto, flujo alrededor de un cilindro y flujo a través de una contracción planar de 4:1. Las simulaciones se realizan a números de Reynolds bajos ($Re \ll 1$) para aislar los efectos de la elasticidad y la disipación.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Papel de la Razón de Viscosidad ($\xi$):
   El estudio demuestra que $\xi$ es un parámetro crítico para determinar la extensión del comportamiento no newtoniano a medida que $Wi$ aumenta.

   • En flujos de canal recto, para un $\xi$ bajo, los perfiles de velocidad permanecen aproximadamente parabólicos. A medida que $\xi$ aumenta, los perfiles desarrollan una región de "tapón" cerca de la línea central, característica de los fluidos de pseudoplasticidad (shear-thinning). Esta región de tapón se reduce conforme $Wi$ aumenta, pero el fenómeno solo es observable cuando $\xi$ es suficientemente grande.
   • Los resultados indican que el $Wi$ por sí solo no dicta las propiedades del flujo; la magnitud de $\xi$ determina el grado de pseudoplasticidad y la desviación resultante de los perfiles newtonianos.

2. Reducción de Arrastre y Flujo Alrededor de un Cilindro:
   Las simulaciones de flujo alrededor de un cilindro revelan un efecto de reducción de arrastre consistente con el comportamiento de pseudoplasticidad. El coeficiente de arrastre ($C_D$) disminuye a medida que la deformación efectiva aumenta. El estudio destaca que, para un $\xi$ alto, el modelo exhibe una fuerte dependencia del tipo de flujo local. Mientras que el modelo muestra pseudoplasticidad en cizalladura simple, no muestra dependencia de la tasa en flujos extensionales, una característica que lo distingue de modelos más simples.

3. Contracción Planar 4:1:
   En el flujo de contracción, el modelo predice una variación no monotónica en el tamaño del vórtice de esquina a medida que $Wi$ aumenta. Notablemente, la nucleación de vórtices de labio secundarios está completamente ausente en todo el rango paramétrico investigado. Esta ausencia se alinea con el comportamiento de los modelos de pseudoplasticidad (ej. PTT, Giesekus), donde las altas tasas de deformación cerca de la esquina de reentrada reducen la resistencia viscosa, evitando la formación de zonas de recirculación secundaria que se observan a menudo en modelos de viscosidad constante como el de Oldroyd-B.

4. Comparación con Modelos de Fluido Newtoniano Generalizado (GNF):
   Los autores compararon las soluciones del modelo de log-deformación contra un modelo GNF donde la viscosidad fue ajustada para coincidir con el comportamiento de pseudoplasticidad del modelo de log-deformación en cizalladura simple.

   • Canal Recto: Los modelos GNF y de log-deformación arrojaron perfiles de velocidad casi idénticos (error relativo ~2.6%), confirmando que, en flujos dominados por cizalladura simple, una viscosidad dependiente de la tasa es suficiente.
   • Flujo Alrededor de un Cilindro: Surgieron discrepancias significativas entre los dos modelos. Los perfiles de velocidad difieren no solo por un factor de escala, sino en su forma. Los autores atribuyen esto a la presencia de regiones de flujo extensional aguas arriba y aguas abajo del cilindro, donde la dependencia de la viscosidad del modelo GNF (derivada de la cizalladura) no logra capturar los mecanismos de disipación del modelo tensorial completo de log-deformación.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el modelo de log-deformación, combinado con el esquema numérico estabilizado propuesto, simula con éxito flujos viscoelásticos hasta números de Weissenberg relativamente altos ($Wi \sim 35$) sin la ruptura numérica típica del HWNP. El estudio enfatiza que la razón de viscosidad $\xi$ es un factor independiente y crucial para generar perfiles de flujo no newtonianos, un matiz que a menudo se pasa por alto al centrarse únicamente en $Wi$.

Además, la comparación con el modelo GNF subraya las limitaciones de las aproximaciones inelásticas. Aunque los modelos GNF pueden ser suficientes para flujos dominados por cizalladura simple, el modelo de log-deformación captura características reológicas esenciales dependientes del tipo de flujo (cizalladura vs. extensión), las cuales son necesarias para predecir con precisión flujos en geometrías complejas. Los autores concluyen que la estructura matemática intrínseca del modelo de log-deformación, que preserva la definición positiva del tensor de conformación, es vital para la estabilidad numérica y la admisibilidad física.

Direcciones Futuras
Los autores sugieren que el trabajo futuro debería centrarse en el desarrollo de métodos computacionales capaces de manejar flujos tridimensionales y geometrías más complejas, así como en investigar la interacción entre la inercia y la elasticidad en números de Reynolds más altos. Además, proponen extender el modelo constitutivo para incluir múltiples modos de relajación o tiempos de relajación dependientes del estado.