A numerical study to analyze the interplay of Weissenberg number and viscosity ratio in a log-strain tensorial model for viscoelastic fluids

技術要約：粘弾性流体における対数歪みテンソルモデルの数値解析

問題提起
本研究は、粘弾性流体のシミュレーションに関連する計算上の課題、特にワイセンベルク数（$Wi$）と粘性比（$\xi$）の相互作用に焦点を当てて取り組んでいる。粘性比は、有効粘度に対する高分子による寄与（$\eta_p = \kappa\tau_r$）と溶媒粘度（$\eta$）の比として定義される。粘弾性流における$Wi$の役割はよく知られているが、$\xi$の独立した影響は見落とされがちである。さらに、高$Wi$における数値シミュレーションでは、コンフォメーション・テンソルの正定値性の喪失や、高変形速度領域における数値的な破綻を特徴とする「高ワイセンベルク数問題（HWNP）」にしばしば直面する。著者らは、弾性応力と弾性歪みの間の対数関係を利用した、最近提案された対数歪みテンソルモデルを用いて、これらのパラメータを系統的に調査している。

手法
著者らは、対数歪みモデルの支配方程式を解くために、安定化混合有限要素定式化を採用している。この手法は、以下の主要な構成要素から成る。

• 支配方程式: このモデルは、上対流微分を用いた、$\log B_{el}$を含む非線形緩和項によってバランスが取られた弾性歪みテンソル（$B_{el}$）の発展を記述する。弾性応力は $T_{el} = \kappa \log B_{el}$ と定義される。この定式化は、歪みテンソルの対称性と正定値性を本質的に保持する。
• 時間離散化: 半陰解法の一種である一次後退オイラー法を用いる。運動学的場と非線形性をデカップリングするために、対流項および構成則の緩和項を、前ステップの既知量を用いて線形化する。
• 移流処理: 歪みテンソルの発展は、一般化されたリー微分定式化を通じて扱われる。テンソル場の更新にはセミ・ラグランジュ特性写像が用いられ、これによりフレーム不変性を確保し、安定性を高めている。各増分において、$B_{el}$の行列式および正定値性の制約を厳密に強制するための射影ステップが適用される。
• 空間離散化: 空間領域は、速度と圧力に対して等次連続線形ラグランジュ要素（P1-P1）、および歪みテンソルに対しては不連続ガラーキン（DG0）要素を用いて離散化される。inf-sup条件を回避し解を安定化するために、速度・圧力系に変分マルチスケール（VMS）フレームワークを適用する。歪みテンソル場は、時間離散化とリー微分処理によって安定化されており、テストされた領域においては追加のVMS安定化は不要となっている。
• ベンチマーク・ケース: 本研究では、直管内の流れ、円柱周りの流れ、および4:1平面収縮流という3つの典型的な圧力駆動流を分析している。弾性と散逸の影響を分離するため、シミュレーションは低レイノルズ数（$Re \ll 1$）で実施されている。

主な貢献と結果

1. 粘性比（$\xi$）の役割:
   本研究は、$\xi$が$Wi$の上昇に伴う非ニュートン挙動の程度を決定する上で極めて重要なパラメータであることを示している。

   • 直管流において、$\xi$が低い場合、速度プロファイルはほぼ放物線状を維持する。$\xi$が増加するにつれ、プロファイルは、剪断減粘流体に見られる特徴である中心線付近の「プラグ状（塊状）」領域を発達させる。このプラグ領域は$Wi$が増加するにつれて縮小するが、この現象は$\xi$が十分に大きい場合にのみ観察される。
   • 結果は、$Wi$単独では流動特性を決定しないことを示しており、$\xi$の大きさが剪断減粘の程度と、それに伴うニュートン流からの偏差を決定することを明示している。

2. 抗力減少と円柱周りの流れ:
   円柱周りの流れのシミュレーションにより、剪断減粘挙動と一致する抗力減少効果が明らかになった。抗力係数（$C_D$）は、有効歪み速度が増加するにつれて減少する。本研究は、高$\xi$において、モデルが局所的な流れの型に強い依存性を示すことを強調している。本モデルは単純剪断においては剪断減粘を示すが、伸長流においては速度依存性を示さない。これは、より単純なモデルと区別される特徴である。

3. 4:1平面収縮:
   収縮流において、本モデルは$Wi$の増加に伴うコーナー渦のサイズの非単調な変化を予測する。特筆すべきは、調査したパラメータ範囲全体において、二次的なリップ渦の発生が完全に欠如している点である。この欠如は、高歪み速度が再入角付近の粘性抵抗を減少させ、Oldroyd-Bのような一定粘性モデルで見られる二次的な再循環領域の形成を防ぐという、剪断減歴モデル（PTTやGiesekusなど）の挙動と一致している。

4. 一般化ニュートン流（GNF）モデルとの比較:
   著者らは、単純剪断における対数歪みモデルの剪断減粘挙動に適合するように粘性を調整したGNFモデルとの比較を行った。

   • 直管流: GNFモデルと対数歪みモデルは、ほぼ同一の速度プロファイルを与えた（相対誤差〜2.6%）。これにより、単純剪断が支配的な流れにおいては、速度依存的な粘性があれば十分であることが確認された。
   • 円柱周りの流れ: 両モデルの間には顕著な相違が見られた。速度プロファイルは単なるスケーリング因子の違いにとどまらず、形状自体が異なっていた。著者らは、これを円柱の上流および下流における伸長流領域の存在に起因すると考えている。そこでは、GNFモデルの（剪断から導出された）粘性依存性が、完全なテンソル形式の対数歪みモデルが持つ散逸メカニズムを捉えきれていない。

意義と主張
本論文は、提案された安定化数値スキームと組み合わせた対数歪みモデルが、HWNP特有の数値的破綻を起こすことなく、比較的高いワイセンベルク数（$Wi \sim 35$）まで粘弾性流を正常にシミュレートできると主張している。また、本研究は、$\xi$が非ニュートン流のプロファイルを生成する上で、$Wi$のみに注目する場合にしばしば見落とされる独立かつ重要な因子であることを強調している。

さらに、GNFモデルとの比較は、非弾性近似の限界を浮き彫りにしている。GNFモデルは単純剪断が支配的な流れには適しているかもしれないが、対数歪みモデルは、流れの型（剪断か伸長か）に依存する不可欠なレオロジー的特徴を捉えており、複雑な幾何学的形状における流れを正確に予測するために必要となる。著者らは、コンフォメーション・テンソルの正定値性を保持する対数歪みモデルの固有の数学的構造が、数値的安定性と物理的な妥当性に不可欠であると結論付けている。

今後の方向性
著者らは、将来の研究として、三次元の流れやより複雑な幾何学形状を扱うことができる計算手法の開発、およびより高いレイノルズ数における慣性と弾性の相互作用の調査を挙げている。加えて、複数の緩和モードや状態依存的な緩和時間を組み込むための、構成モデルの拡張も提案している。