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A numerical study to analyze the interplay of Weissenberg number and viscosity ratio in a log-strain tensorial model for viscoelastic fluids

Cet article présente une étude computationnelle utilisant une méthode d'éléments finis mixtes stabilisée pour démontrer que, dans un modèle tensoriel de déformation logarithmique pour les fluides viscoélastiques, le rapport de viscosité régit de manière critique l'étendue des profils d'écoulement non newtoniens observés à mesure que le nombre de Weissenberg augmente, tandis que la dépendance au type d'écoulement demeure significative même dans les écoulements plans simples.

Auteurs originaux : Nehal Dash, Ramon Codina, Giulio G. Giusteri

Publié 2026-08-04

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Nehal Dash, Ramon Codina, Giulio G. Giusteri

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Le monde collant et extensible des fluides

Imaginez un monde où les liquides ne se contentent pas de couler comme l'eau ou le miel, mais rebondissent et reprennent leur forme comme des élastiques. C'est le domaine fascinant des fluides viscoélastiques. Vous les avez probablement déjà rencontrés sans vous en rendre compte : la façon dont le dentifrice garde sa forme jusqu'à ce que vous le pressiez, ou comment le ketchup jaillit soudainement de la bouteille après un bon coup sec. Ces matériaux sont des hybrides, agissant tour à tour comme un liquide épais et collant et comme un solide extensible. Les scientifiques les étudient car ils sont partout dans la nature et l'industrie, du sang circulant dans nos veines aux plastiques utilisés pour fabriquer tout, des bouteilles d'eau aux pièces automobiles.

Pour comprendre comment ces fluides se comportent, les chercheurs utilisent deux principaux « boutons » de réglage. Le premier est le nombre de Weissenberg, qui est essentiellement une mesure de la vitesse à laquelle vous étirez ou pressez le fluide par rapport à la vitesse à laquelle il veut se détendre et revenir à la normale. Si vous tirez sur un élastique trop vite, il casse ; si vous le tirez lentement, il s'étire. Le second bouton est le rapport de viscosité, qui compare la « viscosité » provenant de la base du fluide (le solvant) par rapport à la « viscosité » provenant des longues molécules emmêlées (les polymères) à l'intérieur de celui-ci. Si les polymères sont extrêmement collants par rapport à l'eau dans laquelle ils flottent, le fluide se comportera très différemment que s'ils ne sont qu'un peu collants. Comprendre comment ces deux boutons interagissent est crucial pour concevoir de meilleurs médicaments, des processus industriels plus efficaces et même pour prédire comment les fluides naturels se déplacent.

L'histoire de l'article : Une nouvelle façon de modéliser l'étirement

Dans cette étude, les auteurs ont décidé d'examiner de plus près une recette mathématique relativement nouvelle pour décrire ces fluides extensibles, appelée le modèle tensoriel de déformation logarithmique (log-strain tensorial model). Considérez ce modèle comme un ensemble d'instructions pour qu'un ordinateur simule le mouvement d'une masse de fluide viscoélastique. La caractéristique unique de cette recette est qu'elle utilise une relation « logarithmique » spéciale pour suivre les changements de forme interne du fluide, ce qui aide l'ordinateur à éviter de planter lorsque le fluide est étiré à ses limites — un problème courant dans ces simulations connu sous le nom de « Problème du nombre de Weissenberg élevé ».

Les chercheurs ont lancé une série de simulations informatiques pour voir comment le fluide se comportait lorsqu'ils tournaient ces deux boutons : le nombre de Weissenberg et le rapport de viscosité. Ils ont testé le fluide dans trois scénarios classiques : l'écoulement à travers un tuyau droit, le passage devant un cylindre (comme un rocher dans un ruisseau) et la progression à travers un rétrécissement soudain (une contraction de 4:1).

Voici ce qu'ils ont découvert. Premièrement, ils ont trouvé que le rapport de viscosité est un héros caché. Il ne s'agit pas seulement de la vitesse à laquelle vous étirez le fluide (le nombre de Weissenberg) ; il importe aussi de savoir quelle quantité de fluide est composée de ces polymères extensibles. Lorsque le rapport entre la viscosité des polymères et celle du solvant était élevé, le fluide a commencé à se comporter de manière très étrange. Dans le tuyau droit, au lieu de couler selon une courbe lisse et arrondie comme l'eau normale, le fluide a développé un « bouchon » au milieu où il se déplaçait à une vitesse constante, la vitesse ne chutant que près des parois. Ce comportement de type « bouchon » est une caractéristique des fluides non newtoniens, et l'étude a montré qu'on ne l'observe clairement que si le rapport de viscosité est suffisamment élevé. Si le rapport est faible, le fluide ressemble simplement à une version légèrement plus épaisse de l'eau, peu importe la vitesse à laquelle on le pousse.

Deuxièmement, l'équipe a comparé leur modèle sophistiqué de déformation logarithmique à un modèle plus ancien et plus simple appelé Fluide Newtonien Généralisé (FNG). Le modèle FNG est comme une version « simplifiée » de la réalité ; il suppose que l'épaisseur du fluide change uniquement en fonction de la vitesse à laquelle il est cisaillé (glissé sur lui-même), ignorant l'historique complexe de la façon dont il a été étiré. Dans le tuyau droit, où le fluide se contente principalement de glisser, le modèle simplifié FNG a presque parfaitement fonctionné, correspondant aux résultats du modèle sophistiqué avec une différence de moins de 3 %.

Cependant, le modèle simplifié a échoué lamentablement lorsque le fluide devait contourner le cylindre. Dans ce scénario, le fluide ne faisait pas que glisser ; il était étiré (en extension) et compressé. Le modèle de déformation logarithmique a montré que la résistance à l'écoulement du fluide dépend fortement de la manière dont il est déformé, et pas seulement de sa vitesse. Le modèle FNG n'a pas pu capturer cela, menant à des prédictions différentes sur le mouvement du fluide. Cela prouve que pour les formes et les écoulements complexes, on ne peut pas se contenter d'une simple règle de « épaisseur dépendante de la vitesse » ; il faut un modèle qui comprenne l'historique complet de l'étirement.

Enfin, les chercheurs ont testé le modèle dans un angle brusque (la contraction 4:1). Ils ont découvert qu'en augmentant la vitesse d'étirement, la taille du vortex tourbillonnant dans le coin ne grandissait pas de manière constante ; elle rétrécissait légèrement avant de croître à nouveau. De plus, contrairement à certains autres modèles qui prédisent l'apparition d'un second, minuscule vortex près du coin, ce modèle n'en montre aucun. Cela correspond à ce que nous observons dans les expériences réelles avec les fluides de type rhéofluidifiants, suggérant que le modèle de déformation logarithmique est un outil très précis pour prédire ces écoulements complexes.

Les auteurs sont confiants dans ces résultats car ils ont utilisé une méthode mathématique robuste qui a maintenu la stabilité de la simulation même à des vitesses d'étirement élevées (jusqu'à un nombre de Weissenberg d'environ 35). Bien qu'ils n'aient pas résolu tous les problèmes de la dynamique des fluides, ils ont démontré que ce modèle spécifique est un moyen puissant de comprendre comment la « viscosité » des polymères et la vitesse d'écoulement travaillent ensemble pour créer des comportements non newtoniens complexes que les modèles plus simples ne parviennent pas à saisir.

Résumé Technique : Analyse Numérique du Modèle Tensoriel de Log-Strain pour les Fluides Viscoélastiques

Énoncé du Problème
Cette étude traite des défis computationnels associés à la simulation des fluides viscoélastiques, en se concentrant spécifiquement sur l'interaction entre le nombre de Weissenberg ($Wi$) et le rapport de viscosité ( $\xi$ ). Le rapport de viscosité est défini comme le rapport entre la contribution polymérique à la viscosité effective ( $\eta_p = \kappa\tau_r$ ) et la viscosité du solvant ( $\eta$ ). Bien que le rôle de $Wi$ dans les écoulements viscoélastiques soit bien documenté, l'influence indépendante de $\xi$ est souvent négligée. De plus, les simulations numériques à haut $Wi$ rencontrent fréquemment le problème du nombre de Weissenberg élevé (HWNP), caractérisé par la perte de la définition positive du tenseur de conformation et une rupture numérique dans les régions de taux de déformation élevés. Les auteurs étudient un modèle récent de déformation logarithmique (log-strain), qui utilise une relation logarithmique entre la contrainte élastique et la déformation élastique, afin d'explorer ces paramètres de manière systématique.

Méthodologie
Les auteurs emploient une formulation d'éléments finis mixtes stabilisée pour résoudre les équations de gouvernance du modèle log-strain. La méthodologie comprend les composantes clés suivantes :

Équations de Gouvernance : Le modèle décrit l'évolution du tenseur de déformation élastique ( $B_{el}$ ) à l'aide d'une dérivée convectée balancée par un terme de relaxation non linéaire impliquant $\log B_{el}$ . La contrainte élastique est définie par $T_{el} = \kappa \log B_{el}$ . Cette formulation préserve intrinsèquement la symétrie et la définition positive du tenseur de déformation.
Discrétisation Temporelle : Un schéma de Euler reculé (Backward Euler) de premier ordre semi-implicite est utilisé. Pour découpler les champs cinématiques des non-linéarités, les termes de convection et de relaxation constitutive sont linéarisés en utilisant des quantités connues de l'étape de temps précédente.
Traitement de l'Advection : L'évolution du tenseur de déformation est gérée via une formulation de dérivée de Lie généralisée. Une cartographie caractéristique semi-lagrangienne est employée pour mettre à jour le champ tensoriel, assurant l'invariance de cadre et améliorant la stabilité. Une étape de projection est appliquée à chaque incrément pour imposer strictement les contraintes de déterminant et de définition positive de $B_{el}$ .
Discrétisation Spatiale : Le domaine spatial est discrétisé à l'aide d'éléments de Lagrange continus d'ordre égal (P1-P1) pour la vitesse et la pression, et d'éléments de Galerkin discontinus (DG0) par morceaux pour le tenseur de déformation. Pour contourner la condition inf-sup et stabiliser la solution, le cadre de l'échelle multi-échelle variationnelle (VMS) est appliqué au système vitesse-pression. Le champ du tenseur de déformation est stabilisé par la discrétisation temporelle et le traitement de la dérivée de Lie, rendant inutile toute stabilisation VMS supplémentaire pour le tenseur dans les régimes testés.
Cas de Référence : L'étude analyse trois écoulements paradigmatiques pilotés par la pression : l'écoulement dans un canal rectiligne, l'écoulement autour d'un cylindre et l'écoulement à travers une contraction planaire de rapport 4:1. Les simulations sont conduites à de faibles nombres de Reynolds ( $Re \ll 1$ ) pour isoler les effets de l'élasticité et de la dissipation.

Contributions Clés et Résultats

Rôle du Rapport de Viscosité ( $\xi$ ) :
L'étude démontre que $\xi$ est un paramètre critique pour déterminer l'étendue du comportement non-newtonien à mesure que $Wi$ augmente.

Dans les écoulements de canaux rectilignes, pour un faible $\xi$ , les profils de vitesse restent approximativement paraboliques. À mesure que $\xi$ augmente, les profils développent une région de type "plug" (écoulement de bouchon) près de la ligne centrale, caractéristique des fluides rhéofluidifiants. Cette région de bouchon rétrécit lorsque $Wi$ augmente, mais le phénomène n'est observable que lorsque $\xi$ est suffisamment élevé.
Les résultats indiquent que $Wi$ seul ne dicte pas les propriétés de l'écoulement ; l'amplitude de $\xi$ détermine le degré de rhéofluidification et l'écart résultant par rapport aux profils newtoniens.

Réduction de Traînée et Écoulement Autour d'un Cylindre :
Les simulations de l'écoulement autour d'un cylindre révèlent un effet de réduction de traînée cohérent avec le comportement rhéofluidifiant. Le coefficient de traînée ( $C_D$ ) diminue à mesure que le taux de déformation effectif augmente. L'étude souligne que pour un $\xi$ élevé, le modèle présente une forte dépendance au type de flux local. Bien que le modèle présente un comportement rhéofluidifiant en cisaillement simple, il ne montre aucune dépendance au taux en écoulement extensiel, une caractéristique qui le distingue des modèles plus simples.
Contraction Planaire 4:1 :
Dans l'écoulement de contraction, le modèle prédit une variation non monotone de la taille du vortex de coin à mesure que $Wi$ augmente. Notamment, la nucléation de vortex de lèvre secondaires est totalement absente sur toute la plage paramétrique étudiée. Cette absence concorde avec le comportement des modèles rhéofluidifiants (ex: PTT, Giesekus), où les taux de déformation élevés près du coin rentrant réduisent la résistance visqueuse, empêchant la formation de zones de recirculation secondaire souvent observées dans les modèles à viscosité constante comme Oldroyd-B.
Comparaison avec les Modèles de Fluides Newtoniens Généralisés (GNF) :
Les auteurs ont comparé les solutions du modèle log-strain à un modèle GNF où la viscosité a été ajustée pour correspondre au comportement de rhéofluidification du modèle log-strain en cisaillement simple.

Canal Rectiligne : Le GNF et le modèle log-strain ont produit des profils de vitesse presque identiques (erreur relative ~2,6 %), confirmant que dans les écoulements dominés par le cisaillement simple, une viscosité dépendante du taux est suffisante.
Écoulement Autour d'un Cylindre : Des divergences significatives sont apparues entre les deux modèles. Les profils de vitesse différaient non seulement par un facteur d'échelle, mais aussi par leur forme. Les auteurs attribuent cela à la présence de régions d'écoulement extensiel en amont et en aval du cylindre, où la dépendance de la viscosité du modèle GNF (dérivée du cisaillement) échoue à capturer les mécanismes de dissipation du modèle tensoriel complet log-strain.

Signification et Revendications
L'article affirme que le modèle log-strain, combiné au schéma numérique stabilisé proposé, parvient à simuler des écoulements viscoélastiques jusqu'à des nombres de Weissenberg relativement élevés ( $Wi \sim 35$ ) sans la rupture numérique typique du HWNP. L'étude souligne que le rapport de viscosité $\xi$ est un facteur indépendant et crucial pour générer des profils d'écoulement non-newtoniens, une nuance souvent négligée lorsqu'on se concentre uniquement sur $Wi$.

De plus, la comparaison avec le modèle GNF souligne les limites des approximations inélastiques. Bien que les modèles GNF puissent suffire pour les écoulements dominés par le cisaillement simple, le modèle log-strain capture des caractéristiques rhéologiques essentielles dépendant du type de flux (cisaillement vs extension), nécessaires pour prédire avec précision les écoulements dans des géométries complexes. Les auteurs concluent que la structure mathématique intrinsèque du modèle log-strain, qui préserve la définition positive du tenseur de conformation, est vitale pour la stabilité numérique et l'admissibilité physique.

Directions Futures
Les auteurs suggèrent que les travaux futurs devraient se concentrer sur le développement de méthodes de calcul capables de gérer les écoulements tridimensionnels et les géométries plus complexes, ainsi que sur l'étude de l'interaction entre l'inertie et l'élasticité à des nombres de Reynolds plus élevés. De plus, ils proposent d'étendre le modèle constitutif pour inclure plusieurs modes de relaxation ou des temps de relaxation dépendants de l'état.

Le monde collant et extensible des fluides

L'histoire de l'article : Une nouvelle façon de modéliser l'étirement

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