A numerical study to analyze the interplay of Weissenberg number and viscosity ratio in a log-strain tensorial model for viscoelastic fluids

Resumo Técnico: Análise Numérica do Modelo Tensorial de Log-Strain para Fluidos Viscoelásticos

Enunciado do Problema
Este estudo aborda os desafios computacionais associados à simulação de fluidos viscoelásticos, focando especificamente na interação entre o número de Weissenberg ($Wi$) e a razão de viscosidade ($\xi$). A razão de viscosidade é definida como a razão entre a contribuição polimérica para a viscosidade efetiva ($\eta_p = \kappa\tau_r$) e a viscosidade do solvente ($\eta$). Embora o papel de $Wi$ nos escoamentos viscoelásticos seja bem documentado, a influência independente de $\xi$ é frequentemente negligenciada. Além disso, simulações numéricas em altos $Wi$ frequentemente encontram o Problema do Alto Número de Weissenberg (HWNP), caracterizado pela perda de positividade definida do tensor de conformação e pela quebra numérica em regiões de altas taxas de deformação. Os autores investigam um modelo de log-strain (deformaçao logarítmica) proposto recentemente, que utiliza uma relação logarítmica entre a tensão elástica e a deformação elástica, para explorar esses parâmetros sistematicamente.

Metodologia
Os autores empregam uma formulação de elementos finitos mistos estabilizada para resolver as equações governantes do modelo de log-strain. A metodologia compreende os seguintes componentes principais:

• Equações Governantes: O modelo descreve a evolução do tensor de deformação elástica ($B_{el}$) usando uma derivada convectiva balanceada por um termo de relaxação não linear envolvendo $\log B_{el}$. A tensão elástica é definida como $T_{el} = \kappa \log B_{el}$. Esta formulação preserva intrinsecamente a simetria e a positividade definida do tensor.
• Discretização Temporal: É utilizado um esquema Backward Euler de primeira ordem semi-implícito. Para desacoplar os campos cinemáticos das não linearidades, os termos convectivos e constitutivos de relaxação são linearizados utilizando quantidades conhecidas do passo de tempo anterior.
• Tratamento de Advecção: A evolução do tensor de deformação é tratada via uma formulação de derivada de Lie generalizada. Um mapeamento característico semi-Lagrangiano é empregado para atualizar o campo tensorial, garantindo a invariância de quadro e aumentando a estabilidade. Um passo de projeção é aplicado em cada incremento para impor estritamente as restrições de determinante e positividade definida de $B_{el}$.
• Discretização Espacial: O domínio espacial é discretizado utilizando elementos de Lagrange contínuos de ordem igual (P1-P1) para velocidade e pressão, e elementos de Galerkin descontínuo (DG0) para o tensor de deformação. Para contornar a condição inf-sup e estabilizar a solução, o framework de Multiescala Variacional (VMS) é aplicado ao sistema velocidade-pressão. O campo do tensor de deformação é estabilizado através da discretização temporal e do tratamento da derivada de Lie, tornando desnecessária a aplicação de estabilização VMS adicional para o tensor nos regimes testados.
• Casos de Referência: O estudo analisa três escoamentos paradigmáticos de pressão dirigida: escoamento em um canal reto, escoamento contornando um cilindro e escoamento através de uma contração planar de 4:1. As simulações são conduzidas em baixos números de Reynolds ($Re \ll 1$) para isolar os efeitos da elasticidade e da dissipação.

Principais Contribuições e Resultados

1. Papel da Razão de Viscosidade ($\xi$):
   O estudo demonstra que $\xi$ é um parâmetro crítico para determinar a extensão do comportamento não-newtoniano conforme $Wi$ aumenta.

   • Em escoamentos de canal reto, para baixo $\xi$, os perfis de velocidade permanecem aproximadamente parabólicos. À medida que $\xi$ aumenta, os perfis desenvolvem uma região de "plug" (fluxo de pistão) próxima à linha central, característica de fluidos com pseudoplasticidade (shear-thinning). Esta região de plug encolhe conforme $Wi$ aumenta, mas o fenômeno só é observável quando $\xi$ é suficientemente grande.
   • Os resultados indicam que o $Wi$ sozinho não dita as propriedades do escoamento; a magnitude de $\xi$ determina o grau de shear-thinning e o desvio resultante dos perfis Newtonianos.

2. Redução de Arrasto e Escoamento Contornando um Cilindro:
   Simulações de escoamento contornando um cilindro revelam um efeito de redução de arrasto consistente com o comportamento de shear-thinning. O coeficiente de arrasto ($C_D$) diminui conforme a taxa de deformação efetiva aumenta. O estudo destaca que, para alto $\xi$, o modelo exibe uma forte dependência do tipo de escoamento local. Enquanto o modelo apresenta shear-thinning em cisalhamento simples, ele não mostra dependência de taxa em escoamentos extensionais, uma característica que o distingue de modelos mais simples.

3. Contração Planar 4:1:
   No escoamento de contração, o modelo prevê uma variação não monotônica no tamanho do vórtice de canto conforme $Wi$ aumenta. Notavelmente, a nucleação de vórtices secundários de lábio está inteiramente ausente em todo o intervalo paramétrico investigado. Essa ausência alinha-se com o comportamento de modelos de shear-thinning (ex: PTT, Giesekus), onde altas taxas de deformação próximas ao canto de reentrada reduzem a resistência viscosa, impedindo a formação de zonas de recirculação secundárias frequentemente observadas em modelos de viscosidade constante como o Oldroyd-B.

4. Comparação com Modelos de Fluido Newtoniano Generalizado (GNF):
   Os autores compararam as soluções do modelo de log-strain com um modelo GNF onde a viscosidade foi ajustada para coincidir com o comportamento de shear-thinning do modelo de log-strain em cisalhamento simples.

   • Canal Reto: Os modelos GNF e de log-strain produziram perfis de velocidade quase idênticos (erro relativo ~2,6%), confirmando que, em escoamentos dominados por cisalhamento simples, uma viscosidade dependente da taxa é suficiente.
   • Escoamento Contornando um Cilindro: Surgiram discrepâncias significativas entre os dois modelos. Os perfis de velocidade diferiram não apenas por um fator de escala, mas em forma. Os autores atribuem isso à presença de regiões de escoamento extensional a montante e a jusante do cilindro, onde a dependência de viscosidade do modelo GNF (derivada de cisalhamento) falha em capturar os mecanismos de dissipação do modelo tensorial completo de log-strain.

Significância e Alegações
O artigo afirma que o modelo de log-strain, combinado com o esquema numérico estabilizado proposto, simula com sucesso escoamentos viscoelásticos até números de Weissenberg relativamente altos ($Wi \sim 35$) sem a quebra numérica típica do HWNP. O estudo enfatiza que a razão de viscosidade $\xi$ é um fator independente e crucial para gerar perfis de escoamento não-newtonianos, uma nuance frequentemente negligenciada quando o foco recai apenas sobre o $Wi$.

Além disso, a comparação com o modelo GNF ressalta as limitações das aproximações inelásticas. Embora modelos GNF possam ser suficientes para escoamentos dominados por cisalhamento simples, o modelo de log-strain captura características reológicas essenciais dependentes do tipo de escoamento (cisalhamento vs. extensão), que são necessárias para prever com precisão escoamentos em geometrias complexas. Os autores concluem que a estrutura matemática intrínseca do modelo de log-strain, que preserva a positividade definida do tensor de conformação, é vital para a estabilidade numérica e admissibilidade física.

Direções Futuras
Os autores sugerem que trabalhos futuros devem focar no desenvolvimento de métodos computacionais capazes de lidar com escoamentos tridimensionais e geometrias mais complexas, bem como na investigação da interação entre inércia e elasticidade em números de Reynolds mais elevados. Adicionalmente, propõem estender o modelo constitutivo para incluir múltiplos modos de relaxação ou tempos de relaxação dependentes do estado.