A numerical study to analyze the interplay of Weissenberg number and viscosity ratio in a log-strain tensorial model for viscoelastic fluids

技术摘要：对数应变张量模型在粘弹性流体中的数值分析

问题陈述
本研究探讨了模拟粘弹性流体相关的计算挑战，特别关注 Weissenberg 数 ($Wi$) 与粘度比 ($\xi$) 之间的相互作用。粘度比定义为聚合物对有效粘度的贡献 ($\eta_p = \kappa\tau_r$) 与溶剂粘度 ($\eta$) 之比。虽然$Wi$在粘弹性流动中的作用已有充分文献记载，但$\xi$的独立影响往往被忽视。此外，在高$Wi$ 下的数值模拟经常遇到高 Weissenberg 数问题（HWNP），其特征是构型张量的正定性丧失以及在高变形率区域的数值崩溃。作者研究了一种最近提出的对数应变张量模型，该模型利用弹性应力与弹性应变之间的对数关系，旨在系统地探索这些参数。

方法论
作者采用了一种稳定的混合有限元公式来求解对数应变模型的控制方程。该方法包含以下关键组成部分：

• 控制方程： 该模型通过一个由 $\log B_{el}$ 组成的非线性松弛项平衡的上协导数来描述弹性应变张量 ($B_{el}$) 的演化。弹性应力定义为 $T_{el} = \kappa \log B_{el}$。这种公式形式本质上保持了应变的对称性和正定性。
• 时间离散化： 使用了一阶后向欧拉（Backward Euler）半隐式格式。为了将运动学场与非线性项解耦，利用前一时间步的已知量对对流项和本构松弛项进行了线性化处理。
• 平流处理： 通过广义 Lie 导数公式处理应变的演化。采用半拉格朗日（semi-Lagrangian）特征映射来更新张量场，以确保框架不变性并增强稳定性。在每个增量步应用投影步骤，以严格强制执行 $B_{el}$ 的行列式和正定性约束。
• 空间离散化： 空间域使用等阶连续线性 Lagrange 元（P1-P1）对速度和压力进行离散，并使用分片常数间断 Galerkin 元（DG0）对应变张量进行离散。为了规避 inf–sup 条件并稳定解，对速度-压力系统应用了变分多尺度（VMS）框架。应变张量场通过时间离散化和 Lie 导数处理得到了稳定，这使得在测试范围内无需对张量进行额外的 VMS 稳定处理。
• 基准案例： 研究分析了三种典型的压力驱动流：直通道流、绕圆柱体流动以及 4:1 平面收缩流。模拟是在低雷诺数（$Re \ll 1$）下进行的，以隔离弹性和耗散的影响。

主要贡献与结果

1. 粘度比 ($\xi$) 的作用：
   研究表明，$\xi$ 是决定随着 $Wi$ 增加而产生的非牛顿行为程度的关键参数。

   • 在直通道流中，对于低 $\xi$，速度剖面保持近似抛物线形状。随着 $\xi$ 增加，剖面在中心线附近形成“塞流”（plug-like）区域，这是剪切稀化流体的特征。该塞流区域随 $Wi$增加而缩小，但只有在$\xi$ 足够大时，这一现象才可被观察到。
   • 结果表明，$Wi$单独并不决定流动特性；$\xi$ 的大小决定了剪切稀化的程度以及由此产生的与牛顿流体剖面的偏差。

2. 减阻与绕圆柱体流动：
   绕圆柱体流动的模拟揭示了与剪切稀化行为一致的减阻效应。随着有效应变率的增加，阻力系数 ($C_D$) 降低。研究强调，对于高 $\xi$，该模型表现出对局部流动类型的强依赖性。虽然该模型在简单剪切中表现出剪切稀化，但在拉伸流中则表现出无速率依赖性，这一特征使其区别于更简单的模型。

3. 4:1 平面收缩：
   在收缩流中，模型预测了随着 $Wi$ 增加，角涡旋的大小呈现非单调变化。值得注意的是，在所研究的参数范围内，完全没有观察到二次唇涡（secondary lip vortices）的产生。这种缺失与剪切稀化模型（如 PTT, Giesekus）的行为一致，即在入口角附近的高应变率降低了粘性阻力，从而阻止了在像 Oldroyd-B 这种恒定粘度模型中常见的二次回流区的形成。

4. 与广义牛顿流体 (GNF) 模型的比较：
   作者将对数应变模型的解与一个 GNF 模型进行了对比，该 GNF 模型的粘度经过拟合以匹配对数应变模型在简单剪切中的剪切稀化行为。

   • 直通道： GNF 和对数应变模型得出了几乎相同的速度剖面（相对误差 ~2.6%），证实了在简单剪切主导的流动中，速率相关的粘度是足够的。
   • 绕圆柱体流动： 两个模型之间出现了显著差异。速度剖面的不同不仅在于缩放因子，还在于形状本身。作者将其归因于圆柱体上游和下游存在拉伸流区域，在这些区域，源自剪切的 GNF 模型粘度依赖性无法捕捉到完整张量对数应变模型的耗散机制。

意义与主张
本文声称，对数应变模型结合所提出的稳定数值方案，能够成功模拟高达相对较高的 Weissenberg 数（$Wi \sim 35$）的粘弹性流，而不会出现典型的 HWNP 导致的数值崩溃。研究强调，粘度比 $\xi$ 是产生非牛顿流动剖面的独立且至关重要的因素，这一细微差别在仅关注 $Wi$ 时常被忽视。

此外，与 GNF 模型的比较强调了非弹性近似的局限性。虽然 GNF 模型在简单剪切主导的流动中可能足够，但对数应变模型捕捉了依赖于流动类型（剪切 vs 拉伸）的基本流变特征，这对于准确预测复杂几何形状中的流动是必要的。作者得出结论，对数应变模型内在的数学结构（它保持了构型张量的正定性）对于数值稳定性和物理可行性至关重要。

未来方向
作者建议未来的工作应侧重于开发能够处理三维流动和更复杂几何形状的计算方法，以及研究在高雷诺数下惯性与弹性的相互作用。此外，他们提议将本构模型扩展到包含多个松弛模式或状态相关松弛时间。