Structured dispersion modelling for mortality data using a Conway--Maxwell--Poisson specification

Sintesi Tecnica: Modellazione della Dispersione Strutturata per i Dati di Mortalità utilizzando una Specificazione Conway–Maxwell–Poisson

Definizione del Problema
I modelli tradizionali di previsione della mortalità, come le famiglie Lee–Carter (LC) e Cairns–Blake–Dowd (CBD), assumono tipicamente una distribuzione di Poisson per i conteggi dei decessi. Tale assunzione impone l'uguaglianza tra media e varianza ($E[D_{xt}] = \text{Var}[D_{xt}]$), il che spesso non trova riscontro nei dati empirici di mortalità a causa dell'eterogeneità non osservata. La letteratura esistente ha affrontato la sovradispersione attraverso parametri di dispersione globali (ad esempio, quasi-Poisson, binomiale negativa o specifiche Conway–Maxwell–Poisson globali singole), ma questi approcci trattano la dispersione come una quantità fissa e aggregata. Gli autori sostengono che tale assunzione sia raramente soddisfatta nella pratica; la dispersione è probabilmente una quantità strutturata che varia sistematicamente per età e tempo. Non catturare questa eterogeneità strutturale può portare a una calibrazione errata dell'incertezza, intervalli di previsione eccessivamente stretti e una sottostima del rischio di longevità.

Metodologia
Il documento propone un quadro flessibile che modella esplicitamente la dispersione come funzione dell'età e del tempo utilizzando la distribuzione Conway–Maxwell–Poisson (CMP).

1. Specificazione Distribuizionale:
   L'innovazione principale consiste nel passare da un singolo parametro di dispersione globale ($\nu$) a parametri specifici per l'età ($\nu_x$) e per il periodo ($\nu_t$). La distribuzione CMP permette la sottodispersione ($\nu > 1$), l'equidispersione ($\nu = 1$) e la sovradispersione ($\nu < 1$).

• Modelli specifici per età (CMP–LC–x, CMP–LCC–x): il parametro di dispersione varia per gruppo di età $x$.
• Modelli specifici per periodo (CMP–LC–t, CMP–LCC–t): il parametro di dispersione varia per anno solare $t$.
  Questi vengono combinati con le strutture standard dei tassi di mortalità: il modello Lee–Carter (LC) e il modello Lee–Carter con Coorte (LCC).

2. Formulazione Bayesiana:
   Gli autori adottano un quadro bayesiano per trattare i parametri di dispersione come variabili aleatorie sconosciute.

• Prior: Sono assegnati prior Gamma deboli ($\text{Gamma}(1, 0.01)$) a $\nu_x$ e $\nu_t$ per consentire l'inferenza basata sui dati senza pre-specificare la struttura della dispersione. Si utilizzano prior standard per i parametri dei tassi di mortalità ($\alpha_x, \beta_x, \kappa_t, \gamma_c$), inclusi i prior di tipo ARIMA per i trend temporali e di coorte.
• Estensione delle Serie Temporali: Per la dispersione specifica per periodo, il documento esplora un prior ARIMA(0,1,1) con drift lineare per catturare le correlazioni temporali e i trend nel processo di dispersione, permettendo una proiezione dinamica dell'eterogeneità.
• Stima: I parametri sono stimati utilizzando metodi Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Lo schema di aggiornamento per i parametri di dispersione prevede passaggi di Metropolis-Hastings su scala logaritmica per garantire la positività.

Contributi Chiave
Il documento identifica tre contributi primari:

1. Struttura di Dispersione Flessibile: A differenza delle precedenti applicazioni CMP che utilizzano un singolo $\nu$ globale, questo framework permette al tipo e al grado di dispersione di variare per età e tempo. Ciò consente l'inferenza delle strutture di dispersione sottostanti direttamente dai dati senza pre-specificazione.
2. Implementazione Bayesiana Coerente: Gli autori presentano un'implementazione bayesiana che integra l'incertezza di parametro, di processo e distribuizionale. Questo evita le procedure di stima in due fasi comuni negli approcci frequentisti e utilizza le strutture dei prior per propagare l'incertezza in modo coerente.
3. Validazione Empirica e Applicazione Attuariale: La metodologia è applicata ai dati di mortalità maschile di Inghilterra e Galles (1961–2002). Lo studio dimostra che la variabilità nei conteggi della mortalità differisce sostanzialmente tra le età e i periodi, con implicazioni per la calibrazione del rischio di longevità e la determinazione dei prezzi delle rendite.

Risultati
Utilizzando i dati di mortalità maschile di Inghilterra e Galles, lo studio confronta i modelli Poisson, CMP standard e i modelli CMP strutturati (sia varianti LC che LCC).

• Pattern di Dispersione: L'analisi empirica rivela che la dispersione non è uniforme. Si osserva una significativa sovradispersione nelle età infantili, tra i 18 e i 23 anni, tra i 45 e i 50 anni, tra i 60 e i 65 anni e tra gli 80 e i 95 anni. L'analisi specifica per periodo mostra una forte sovradispersione in anni quali il 1963, 1969, 1985, 1994 e 2000–2002.
• Fit del Modello: I modelli CMP strutturati (specificamente CMP–LCC–x e CMP–LCC–t) superano significativamente i modelli Poisson e CMP globali.
  • Residui: Il modello CMP–LCC–x produce i residui totali più bassi per i conteggi dei decessi, alleviando efficacemente i cluster di discrepanze riscontrati nei modelli standard (ad esempio, nelle età infantili e tra i 18–23 anni).
  • Prezzi delle Rendite: In termini di valori di rendita anticipata (annuity-due), il modello CMP–LCC–t è quello con le prestazioni migliori, fornendo una migliore calibrazione delle ampiezze degli intervalli.
• Calibrazione dell'Incertezza: I modelli con dispersione strutturata producono intervalli di previsione più realistici. I modelli globali tendono a produrre intervalli eccessivamente ampi per alcune età (a causa della mediazione) e eccessivamente stretti per altre. I modelli strutturati adattano l'ampiezza degli intervalli alle caratteristiche locali dei dati, migliorando la copertura dei dati di holdout.
• Previsione: Il prior di serie temporale per $\nu_t$ (ARIMA(0,1,1)) cattura con successo un trend stocastico a evoluzione lenta, suggerendo che il livello di sovradispersione possa diminuire gradualmente in futuro, sebbene gli autori segnalino i limiti riguardanti potenziali proiezioni negative e trend lineari indefiniti.

Significato e Rivendicazioni
Il documento sostiene che la modellazione esplicita della dispersione strutturale offra un'alternativa superiore ai modelli che si affidano a un singolo parametro di dispersione globale. Inferendo la struttura della dispersione direttamente dai dati, il framework proposto:

• Cattura l'eterogeneità residua che i modelli di sovradispersione standard trascurano.
• Fornisce una calibrazione più localizzata dell'incertezza, fondamentale per una valutazione accurata del rischio di longevità e per la determinazione dei prezzi delle rendite.
• Dimostra che il grado di variazione stocastica della mortalità non è costante, ma varia sistematicamente attraverso lo spettro delle età e nel tempo.

Gli autori concludono che combinare assunzioni distribuizionali flessibili (CMP) con componenti di dispersione strutturata all'interno di un quadro bayesiano coerente fornisce un migliore fit del modello e una rappresentazione più ricca dell'eterogeneità della mortalità. Suggeriscono moderatamente che il lavoro futuro potrebbe esplorare la selezione formale del modello per le specifiche delle serie temporali e prior alternativi che garantiscano la non-negatività e la stabilità a lungo termine nelle proiezioni della dispersione.