Structured dispersion modelling for mortality data using a Conway--Maxwell--Poisson specification

技术摘要：基于 Conway–Maxwell–Poisson 规范的死亡率数据结构化离散化建模

问题陈述
传统的死亡率预测模型，如 Lee–Carter (LC) 和 Cairns–Blake–Dowd (CBD) 系列，通常假设死亡计数服从泊松分布（Poisson distribution）。这一假设强制要求均值与方差相等（$E[D_{xt}] = \text{Var}[D_{xt}]$），但在由于存在未观测到的异质性，这在经验死亡率数据中往往无法成立。虽然现有文献通过全局离散参数（例如准泊松、负二项或单一全局 Conway–Maxwell–Poisson 规范）解决了过度离散（overdispersion）问题，但这些方法通常将离散度视为一个固定的、聚合的量。作者认为，这种假设在实践中很难得到满足；离散度很可能是一个结构化的量，会随年龄和时间发生系统性变化。未能捕捉这种结构性异质性会导致校准失误、预测区间过窄以及对长寿风险的低估。

方法论
本文提出了一个灵活的框架，利用 Conway–Maxwell–Poisson (CMP) 分布，显式地将离散度建模为年龄和时间的函数。

1. 分布规范：
   其核心创新在于从单一的全局离散参数 ($\nu$) 转向年龄特定 ($\nu_x$) 和时期特定 ($\nu_t$) 的参数。CMP 分布允许欠离散 ($\nu > 1$)、等离散 ($\nu = 1$) 和过度离散 ($\nu < 1$)。

   • 年龄特定模型 (CMP–LC–x, CMP–LCC–x)： 离散参数随年龄组 $x$ 变化。
   • 时期特定模型 (CMP–LC–t, CMP–LCC–t)： 离散参数随日历年 $t$ 变化。
   • 这些模型与标准的死亡率结构相结合：即 Lee–Carter (LC) 模型和带有队列效应的 Lee–Carter (LCC) 模型。

2. 贝叶斯公式化：
   作者采用贝叶斯框架将离散参数视为未知的随机变量。

   • 先验分布： 对 $\nu_x$ 和 $\nu_t$ 分配无信息 Gamma 先验 ($\text{Gamma}(1, 0.01)$)，以便在不预设离散结构的情况下进行数据驱动的推断。对于死亡率参数 ($\alpha_x, \beta_x, \kappa_t, \gamma_c$)，使用标准先验，包括用于捕捉时间与队列趋势的 ARIMA 型先验。
   • 时间序列扩展： 对于时期特定的离散度，论文探索了带有线性漂移项的 ARIMA(0,1,1) 先验，以捕捉离散过程中的时间相关性和趋势，从而实现对异质性的动态投影。
   • 估计： 使用马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 方法进行参数估计。离散参数的更新方案涉及对数尺度的 Metropolis–Hastings 步骤，以确保正定性。

主要贡献
本文确定了三个主要贡献：

1. 灵活的离散结构： 不同于以往使用单一全局 $\nu$ 的 CMP 应用，本框架允许离散类型和程度随年龄和时间而变化。这使得直接从数据中推断底层离散结构成为可能，而无需预先设定。
2. 连贯的贝叶斯实现： 作者展示了一种贝叶斯实现方式，将参数不确定性、过程不确定性和分布不确定性整合在一起。这避免了频率派方法中常见的两阶段估计程序，并利用先验结构实现连贯的不确定性传播。
3. 经验验证与精算应用： 该方法应用于英格兰和威尔士的男性死亡数据（1961–2002）。研究表明，死亡计数中的变异性在不同年龄和时期之间存在显著差异，这对长寿风险的校准和年金定价具有重要意义。

结果
利用英格兰和威尔士男性死亡数据，研究对比了泊松模型、标准 CMP 模型和结构化 CMP 模型（包括 LC 和 LCC 变体）。

• 离散模式： 经验分析显示，离散度并非均匀分布。在婴儿期、18–23 岁、45–50 岁、60–65 岁以及 80–95 岁观察到显著的过度离散。时期特定分析显示，在 1963 年、1969 年、1985 年以及 2000–2002 年等年份存在强烈的过度离散。
• 模型拟合： 结构化 CMP 模型（特别是 CMP–LCC–x 和 CMP–LCC–t）的表现明显优于泊松模型和全局 CMP 模型。
  • 残差： CMP–LCC–x 模型产生了最低的死亡计数总残差，有效地缓解了标准模型中出现的偏差集群（例如在婴儿期和 18–23 岁年龄段）。
  • 年金定价： 在即付年金价值方面，CMP–LCC–t 模型表现最佳，提供了更好的区间宽度校准。
• 不确定性校准： 具有结构化离散度的模型产生了更符合实际的预测区间。全局模型往往会对某些年龄产生过宽的区间（由于平均效应），而对另一些年龄产生过窄的区间。结构化模型能够根据局部数据特征调整区间宽度，从而提高对留出数据（holdout data）的覆盖率。
• 预测： 用于 $\nu_t$ 的时间序列先验 (ARIMA(0,1,1)) 成功捕捉到了一个缓慢演变的随机趋势，这表明过度离散的水平可能会在未来逐渐减弱，尽管作者也指出了关于潜在负向投影和无限线性趋势的局限性。

意义与主张
本文主张，显式建模结构化离散度是依赖单一全局离散参数模型的优越替代方案。通过直接从数据中推断离散结构，该框架：

• 捕捉了标准过度离散模型所忽略的残余异质性。
• 提供了更具局部性的不确定性校准，这对于准确评估长寿风险和进行年金定价至关重要。
• 证明了死亡率的随机变动程度并非恒定，而是随年龄谱系和时间呈现系统性变化。

作者得出结论，将灵活的分布假设 (CMP) 与结构化离散成分结合在连贯的贝叶斯框架内，可以提供改进的模型拟合效果和更丰富的死亡率异质性表征。作者也审慎地建议，未来的工作可以探索针对时间序列规范的形式化模型选择，以及确保非负性和长期稳定性的替代先验。