Structured dispersion modelling for mortality data using a Conway--Maxwell--Poisson specification

Résumé Technique : Modélisation de la dispersion structurée pour les données de mortalité à l'aide d'une spécification de type Conway–Maxwell–Poisson

Énoncé du problème
Les modèles traditionnels de prévision de la mortalité, tels que les familles Lee–Carter (LC) et Cairns–Blake–Dowd (CBD), supposent généralement une distribution de Poisson pour les nombres de décès. Cette hypothèse impose une égalité entre la moyenne et la variance ($E[D_{xt}] = \text{Var}[D_{xt}]$), ce qui échoue fréquemment à se vérifier dans les données de mortalité empiriques en raison d'une hétérogénéité inobservée. Bien que la littérature existante ait abordé la surdispersion par des paramètres de dispersion globaux (ex. : quasi-Poisson, binomiale négative ou spécifications Conway–Maxwell–Poisson globales uniques), ces approches traitent la dispersion comme une quantité fixe et agrégée. Les auteurs soutiennent que cette hypothèse est rarement satisfaite en pratique ; la dispersion est probablement une quantité structurée qui varie systématiquement selon l'âge et le temps. Ne pas capturer cette hétérogénéité structurelle peut conduire à une mauvaise calibration de l'incertitude, à des intervalles de prédiction trop étroits et à une sous-estimation du risque de longévité.

Méthodologie
L'article propose un cadre flexible qui modélise explicitement la dispersion comme une fonction de l'âge et du temps en utilisant la distribution Conway–Maxwell–Poisson (CMP).

1. Spécification de la distribution :
   L'innovation centrale consiste à passer d'un paramètre de dispersion unique ($\nu$) à des paramètres spécifiques à l'âge ($\nu_x$) et à la période ($\nu_t$). La distribution CMP permet la sous-dispersion ($\nu > 1$), l'équidispersion ($\nu = 1$) et la surdispersion ($\nu < 1$).

• Modèles spécifiques à l'âge (CMP–LC–x, CMP–LCC–x) : Le paramètre de dispersion varie selon le groupe d'âge $x$.
• Modèles spécifiques à la période (CMP–LC–t, CMP–LCC–t) : Le paramètre de dispersion varie selon l'année civile $t$.
• Ces modèles sont combinés avec des structures de taux de mortalité standards : le modèle Lee–Carter (LC) et le modèle Lee–Carter avec cohorte (LCC).

2. Formulation bayésienne :
   Les auteurs adoptent un cadre bayésien pour traiter les paramètres de dispersion comme des variables aléatoires inconnues.

• Priors : Des priors Gamma non vagues ($\text{Gamma}(1, 0.01)$) sont assignés à $\nu_x$ et $\nu_t$ pour permettre une inférence pilotée par les données sans pré-spécifier la structure de dispersion. Des priors standards sont utilisés pour les paramètres de taux de mortalité ($\alpha_x, \beta_x, \kappa_t, \gamma_c$), incluant des priors de type ARIMA pour les tendances de période et de cohorte.
• Extension de série temporelle : Pour la dispersion spécifique à la période, l'article explore un prior ARIMA(0,1,1) avec une dérive linéaire pour capturer les corrélations temporelles et les tendances dans le processus de dispersion, permettant une projection dynamique de l'hétérogénéité.
• Estimation : Les paramètres sont estimés à l'aide de méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC). Le schéma de mise à jour des paramètres de dispersion implique des étapes de Metropolis-Hastings à l'échelle logarithmique pour garantir la positivité.

Contributions clés
L'article identifie trois contributions principales :

1. Structure de dispersion flexible : Contrairement aux applications précédentes de la CMP qui utilisent un $\nu$ global unique, ce cadre permet au type et au degré de dispersion de varier selon l'âge et le temps. Cela permet l'inférence des structures de dispersion sous-jacentes directement à partir des données sans pré-spécification.
2. Implémentation bayésienne cohérente : Les auteurs présentent une implémentation bayésienne qui intègre l'incertitude des paramètres, du processus et de la distribution. Cela évite les procédures d'estimation en deux étapes courantes dans les approches fréquentistes et utilise des structures de priors pour propager l'incertitude de manière cohérente.
3. Validation empirique et application actuarielle : La méthodologie est appliquée aux données de mortalité masculine d'Angleterre et du Pays de Galles (1961–2002). L'étude démontre que la variabilité des nombres de décès diffère substantiellement selon les âges et les périodes, avec des implications pour la calibration du risque de longévité et la tarification des rentes.

Résultats
En utilisant les données de mortalité masculine d'Angleterre et du Pays de Galles, l'étude compare les modèles Poisson, CMP standard et les modèles CMP structurés (tant les variantes LC que LCC).

• Profils de dispersion : L'analyse empirique révèle que la dispersion n'est pas uniforme. Une surdispersion significative est observée aux âges de nourrissons, 18–23 ans, 45–50 ans, 60–65 ans et 80–95 ans. L'analyse spécifique à la période montre une forte surdispersion lors d'années telles que 1963, 1969, 1985, 1994 et 2000–2002.
• Ajustement du modèle : Les modèles CMP structurés (particulièrement CMP–LCC–x et CMP–LCC–t) surpassent significativement les modèles Poisson et CMP globaux.
  • Résidus : Le modèle CMP–LCC–x produit les résidus totaux les plus faibles pour les nombres de décès, atténuant efficacement les regroupements de disparités trouvés dans les modèles standards (ex. : aux âges de nourrissons et 18–23 ans).
  • Tarification des rentes : En termes de valeurs de rente de début de période (annuity-due), le modèle CMP–LCC–t est le plus performant, offrant une meilleure calibration des largeurs d'intervalles.
• Calibration de l'incertitude : Les modèles avec une dispersion structurée produisent des intervalles de prédiction plus réalistes. Les modèles globaux ont tendance à produire des intervalles excessivement larges pour certains âges (en raison de la moyenne) et excessivement étroits pour d'autres. Les modèles structurés adaptent la largeur des intervalles aux caractéristiques locales des données, améliorant ainsi la couverture des données de test (holdout data).
• Prévision : Le prior de série temporelle pour $\nu_t$ (ARIMA(0,1,1)) capture avec succès une tendance stochastique évoluant lentement, suggérant que le niveau de surdispersion pourrait diminuer graduellement à l'avenir, bien que les auteurs notent des limites concernant les projections négatives potentielles et les tendances linéaires indéfinies.

Signification et affirmations
L'article affirme qu'une modélisation explicite de la dispersion structurelle offre une alternative supérieure aux modèles reposant sur un paramètre de dispersion global unique. En inférant la structure de la dispersion directement à partir des données, le cadre proposé :

• Capture l'hétérogénéité résiduelle que les modèles de surdispersion standards négligent.
• Fournit une calibration plus localisée de l'incertitude, ce qui est crucial pour une évaluation précise du risque de longévité et la tarification des rentes.
• Démontre que le degré de variation stochastique de la mortalité n'est pas constant mais varie systématiquement à travers le spectre des âges et au fil du temps.

Les auteurs concluent qu'en combinant des hypothèses de distribution flexibles (CMP) avec des composantes de dispersion structurelle au sein d'un cadre bayésien cohérent, on obtient un meilleur ajustement du modèle et une représentation plus riche de l'hétérogénéité de la mortalité. Ils suggèrent modestement que les travaux futurs pourraient explorer la sélection formelle de modèles pour les spécifications de séries temporelles et des priors alternatifs garantissant la non-négativité et la stabilité à long terme des projections de dispersion.