Structured dispersion modelling for mortality data using a Conway--Maxwell--Poisson specification

Technische Samenvatting: Gestructureerde Dispersiemodellering voor Mortaliteitsgegevens met een Conway–Maxwell–Poisson Specificatie

Probleemstelling
Traditionele prognosemodellen voor mortaliteit, zoals de Lee–Carter (LC) en Cairns–Blake–Dowd (CBD) families, gaan doorgaans uit van een Poisson-verdeling voor sterfteaantallen. Deze aanname legt een gelijkheid tussen gemiddelde en variantie op ($E[D_{xt}] = \text{Var}[D_{xt}]$), wat in de praktijk vaak niet standhoudt bij empirische mortaliteitsgegevens vanwege ongeobserveerde heterogeniteit. Hoewel de bestaande literatuur overdispersie heeft geadresseerd via globale dispersieparameters (bijv. quasi-Poisson, negatief-binomial of enkele globale Conway–Maxwell–Poisson specificaties), behandelen deze benaderingen dispersie vaak als een vaste, geaggregeerde grootheid. De auteurs stellen dat deze aanname in de praktijk zelden wordt waargemaakt; dispersie is waarschijnlijk een gestructureerde grootheid die systematisch varieert over leeftijd en tijd. Het niet vastleggen van deze structurele heterogeniteit kan leiden tot verkeerd gekalibreerde onzekerheid, te nauwe predictie-intervallen en een onderschatting van het langzaamheidsrisico (longevity risk).

Methodologie
Het artikel stelt een flexibel kader voor dat dispersie expliciet modelleert als een functie van leeftijd en tijd met behulp van de Conway–Maxwell–Poisson (CMP) verdeling.

1. Distributionele Specificatie:
   De kerninnovatie is de overstap van een enkele globale dispersieparameter ($\nu$) naar leeftijdsspecifieke ($\nu_x$) en periodespecifieke ($\nu_t$) parameters. De CMP-verdeling maakt onderdispersie ($\nu > 1$), equidispersie ($\nu = 1$) en overdispersie ($\nu < 1$) mogelijk.

   • Leeftijdsspecifieke modellen (CMP–LC–x, CMP–LCC–x): De dispersieparameter varieert per leeftijdsgroep $x$.
   • Periodespecifieke modellen (CMP–LC–t, CMP–LCC–t): De dispersieparameter varieert per kalenderjaar $t$.
   • Deze worden gecombineerd met standaard mortaliteitsstructuren: het Lee–Carter (LC) model en het Lee–Carter met Cohort (LCC) model.

2. Bayesiaanse Formulering:
   De auteurs hanteren een Bayesiaans kader om de dispersieparameters te behandelen als onbekende willekeurige variabelen.

   • Priors: Vage Gamma-priors ($\text{Gamma}(1, 0.01)$) worden toegewezen aan $\nu_x$ en $\nu_t$ om datagedreven inferentie mogelijk te maken zonder de dispersiestructuur vooraf te specificeren. Standaard priors worden gebruikt voor de mortaliteitsrate-parameters ($\alpha_x, \beta_x, \kappa_t, \gamma_c$), inclus\n bij ARIMA-type priors voor tijd- en cohorttrends.
   • Tijdreeks-extensie: Voor de periodespecifieke dispersie onderzoekt het artikel een ARIMA(0,1,1)-prior met een lineaire drift om temporele correlaties en trends in het dispersieproces te vangen, wat de dynamische projectie van heterogeniteit mogelijk maakt.
   • Schatting: Parameters worden geschat met behulp van Markov Chain Monte Carlo (MCMC)-methoden. Het update-schema voor de dispersieparameters omvat log-schaal Metropolis-Hastings-stappen om positiviteit te waarborgen.

Belangrijkste Bijdragen
Het artikel identificeert drie primaire bijdragen:

1. Flexibele Dispersiestructuur: In tegenstelling tot eerdere CMP-toepassingen die een enkele globale $\nu$ gebruiken, staat dit kader toe dat het type en de mate van dispersie variëren per leeftijd en tijd. Dit maakt de inferentie van onderliggende dispersiestructuren direct uit de data mogelijk zonder voorafgaande specificatie.
2. Coherente Bayesiaanse Implementatie: De auteurs presenteren een Bayesiaanse implementatie die parameter-, proces- en distributionele onzekerheid integreert. Dit voorkomt de twee-fasen schattingsprocedures die gebruikelijk zijn in frequentistische benaderingen en maakt gebruik van prior-structuren om onzekerheid coherent te propageren.
3. Empirische Validatie en Actuariële Toepassing: De methodologie wordt toegepast op mannelijke sterftegegevens uit Engeland en Wales (1961–2002). De studie toont aan dat de variabiliteit in sterfteaantallen substantieel verschilt over leeftijden en periodes, met implicaties voor de kalibratie van het langzaamheidsrisico en de prijsstelling van lijfrentes.

Resultaten
Met gebruik van de mannelijke sterftegegevens van Engeland en Wales, vergelijkt de studie Poisson, standaard CMP en gestructureerde CMP-modellen (zowel LC- als LCC-varianten).

• Dispersiepatronen: Empirische analyse onthult dat dispersie niet uniform is. Significante overdispersie wordt waargenomen bij zuigelingenleeftijden, leeftijden 18–23, 45–50, 60–65 en 80–95. De periodespecifieke analyse laat sterke overdispersie zien in jaren zoals 1963, 1969, 1985, 1994 en 2000–2002.
• Model Fit: Gestructureerde CMP-modellen (met name CMP–LCC–x en CMP–LCC–t) presteren significant beter dan Poisson en globale CMP-modellen.
  • Residualen: Het CMP–LCC–x model levert de laagste totale residualen voor sterfteaantallen, waardoor clusters van discrepanties (bijv. bij zuigelingenleeftijden en leeftijden 18–23) effectief worden verminderd.
  • Lijfrenteprijsstelling: Wat betreft de waarden van de lijfrente-due (annuity-due), presteert het CMP–LCC–t model het best, omdat het een betere kalibratie van de intervalbreedtes biedt.
• Onzekerheidskalibratie: Modellen met gestructureerde dispersie produceren meer realistische predictie-intervallen. Globale modellen produceren de neiging tot ofwel te brede intervallen voor bepaalde leeftijden (door middeling) of te nauwe intervallen voor andere. Gestructureerde modellen passen de intervalbreedtes aan de lokale datakenmerken aan, wat de dekking van holdout-data verbetert.
• Prognose: De tijdreeks-prior voor $\nu_t$ (ARIMA(0,1,1)) vangt een langzaam evoluerende stochastische trend succesvol op, wat suggereert dat het niveau van overdispersie in de toekomst geleidelijk kan afnemen, hoewel de auteurs opmerken dat er beperkingen zijn met betrekking tot potentiële negatieve projecties en oneindige lineaire trends.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat het expliciet modelleren van structurele dispersie een superieur alternatief biedt voor modellen die vertrouwen op een enkele globale dispersieparameter. Door de dispersiestructuur direct uit de data te extraheren, biedt het voorgestelde kader:

• Het vangt de resterende heterogeniteit die standaard overdispersie-modellen over het hoofd zien.
• Het biedt een meer gelokaliseerde kalibratie van onzekerheid, wat cruciaal is voor een nauwkeurige beoordeling van het langzaamheidsrisico en de prijsstelling van lijfrentes.
• Het demonstreert dat de mate van stochastische variatie in mortaliteit niet constant is, maar systematisch varieert over het leeftijdsspectrum en door de tijd heen.

De auteurs concluderen dat het combineren van flexibele distributionele aannames (CMP) met structurele dispersiecomponenten binnen een coherent Bayesiaans kader leidt tot een verbeterde modelpassing en een rijkere representatie van mortaliteitsheterogeniteit. Zij suggereren bescheiden dat toekomstig werk de formele modelselectie voor tijdreeks-specificaties en alternatieve priors kan verkennen die de non-negativiteit en de stabiliteit op lange termijn in dispersieprognoses waarborgen.