Structured dispersion modelling for mortality data using a Conway--Maxwell--Poisson specification

Resumo Técnico: Modelagem de Dispersão Estruturada para Dados de Mortalidade utilizando uma Especificação Conway–Maxwell–Poisson

Problema
Os modelos tradicionais de previsão de mortalidade, como as famílias Lee–Carter (LC) e Cairns–Blake–Dowd (CBD), tipicamente assumem uma distribuição de Poisson para as contagens de óbitos. Esta suposição impõe a igualdade entre média e variância ($E[D_{xt}] = \text{Var}[D_{xt}]$), o que frequentemente não se sustenta em dados empíricos de mortalidade devido à heterogeneidade não observada. Embora a literatura existente tenha abordado a sobredispersão por meio de parâmetros de dispersão globais (ex: quasi-Poisson, binomial negativa ou especificações globais únicas de Conway–Maxwell–Poisson), essas abordagens frequentemente tratam a dispersão como uma quantidade fixa e agregada. Os autores argumentam que essa suposição raramente é satisfeita na prática; a dispersão é provavelmente uma quantidade estruturada que varia sistematicamente com a idade e o tempo. Falhar em capturar essa heterogeneidade estrutural pode levar a uma calibração incorreta da incerteza, intervalos de previsão excessivamente estreitos e uma subestimação do risco de longevidade.

Metodologia
O artigo propõe um arcabouço flexível que modela explicitamente a dispersão como uma função da idade e do tempo usando a distribuição Conway–Maxwell–Poisson (CMP).

1. Especificação Distribucional:
   A inovação central é a transição de um único parâmetro de dispersão global ($\nu$) para parâmetros específicos por idade ($\nu_x$) e por período ($\nu_t$). A distribuição CMP permite sobredispersão ($\nu > 1$), equidispersão ($\nu = 1$) e sobredispersão ($\nu < 1$).

   • Modelos específicos por idade (CMP–LC–x, CMP–LCC–x): O parâmetro de dispersão varia por grupo de idade $x$.
   • Modelos específicos por período (CMP–LC–t, CMP–LCC–t): O parâmetro de dispersão varia por ano de calendário $t$.
   • Estes são combinados com estruturas padrão de taxas de mortalidade: o modelo Lee–Carter (LC) e o modelo Lee–Carter com Coorte (LCC).

2. Formulação Bayesiana:
   Os autores adotam um arcabouço Bayesiano para tratar os parâmetros de dispersão como variáveis aleatórias desconhecidas.

   • Priors: Priores Gamma vagas ($\text{Gamma}(1, 0.01)$) são atribuídas a $\nu_x$ e $\nu_t$ para permitir a inferência baseada nos dados sem pré-especificar a estrutura de dispersão. Priores padrão são usados para os parâmetros de taxa de mortalidade ($\alpha_x, \beta_x, \kappa_t, \gamma_c$), incluindo priores do tipo ARIMA para tendências de tempo e coorte.
   • Extensão de Séries Temporais: Para a dispersão específica por período, o artigo explora uma priori ARIMA(0,1,1) com deriva linear para capturar correlações temporais e tendências no processo de dispersão, permitindo a projeção dinâmica da heterogeneidade.
   • Estimação: Os parâmetros são estimados usando métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC). O esquema de atualização para os parâmetros de dispersão envolve passos de Metropolis-Hastings em escala logarítmica para garantir a positividade.

Principais Contribuições
O artigo identifica três contribuições primárias:

1. Estrutura de Dispersão Flexível: Diferente das aplicações anteriores de CMP que utilizam um $\nu$ global único, este arcabouço permite que o tipo e o grau de dispersão variem por idade e tempo. Isso possibilita a inferência das estruturas de dispersão subjacentes diretamente dos dados sem pré-especificação.
2. Implementação Bayesiana Coerente: Os autores apresentam uma implementação Bayesiana que integra incerteza de parâmetro, de processo e de distribuição. Isso evita procedimentos de estimação em duas etapas comuns em abordagens frequentistas e utiliza estruturas de priori para propagar a incerteza de forma coerente.
3. Validação Empírica e Aplicação Atuarial: A metodologia é aplicada a dados de mortalidade masculina da Inglaterra e do País de Gales (1961–2002). O estudo demonstra que a variabilidade nas contagens de mortalidade difere substancialmente entre idades e períodos, com implicações para a calibração do risco de longevidade e precificação de anuidades.

Resultados
Usando dados de mortalidade masculina da Inglaterra e do País de Gales, o estudo compara modelos Poisson, CMP padrão e modelos CMP estruturados (tanto variantes LC quanto LCC).

• Padrões de Dispersão: A análise empírica revela que a dispersão não é uniforme. Observa-se uma sobredispersão significativa em idades infantis, idades de 18–23 anos, 45–50 anos, 60–65 anos e 80–95 anos. A análise específica por período mostra forte sobredispersão em anos como 1963, 1969, 1985, 1994 e 2000–2002.
• Ajuste do Modelo: Os modelos CMP estruturados (especificamente CMP–LCC–x e CMP–LCC–t) superam significativamente os modelos Poisson e CMP globais.
  • Resíduos: O modelo CMP–LCC–x produz os menores resíduos totais para contagens de óbitos, mitigando efetivamente agrupamentos de discrepâncias encontrados em modelos padrão (ex: em idades infantis e idades de 18–23 anos).
  • Precificação de Anuidades: Em termos de valores de anuidade imediata (annuity-due), o modelo CMP–LCC–t apresenta o melhor desempenho, proporcionando uma melhor calibração das larguras de intervalo.
• Calibração de Incerteza: Modelos com dispersão estruturada produzem intervalos de previsão mais realistas. Modelos globais tendem a produzir intervalos excessivamente largos para algumas idades (devido à média) e excessivamente estreitos para outras. Modelos estruturados adaptam as larguras dos intervalos às características locais dos dados, melhorando a cobertura dos dados de teste (holdout data).
• Previsão: A série temporal da priori para $\nu_t$ (ARIMA(0,1,1)) captura com sucesso uma tendência estocástica de evolução lenta, sugerindo que o nível de sobredispersão pode diminuir gradualmente no futuro, embora os autores notem limitações quanto a potenciais projeções negativas e tendências lineares indefinidas.

Significância e Alegações
O artigo afirma que a modelagem explícita da dispersão estrutural oferece uma alternativa superior aos modelos que dependem de um único parâmetro de dispersão global. Ao inferir a estrutura de dispersão diretamente dos dados, o arcabouço proposto:

• Captura a heterogeneidade residual que modelos de sobredispersão padrão negligenciam.
• Fornece uma calibração mais localizada da incerteza, o que é crítico para uma avaliação precisa do risco de longevidade e precificação de anuidades.
• Demonstra que o grau de variação estocástica na mortalidade não é constante, mas varia sistematicamente através do espectro de idades e ao longo do tempo.

Os autores concluem que a combinação de suposições distributivas flexíveis (CMP) com componentes de dispersão estrutural dentro de um arcabouço Bayesiano coerente entrega um melhor ajuste de modelo e uma representação mais rica da heterogeneidade da mortalidade. Eles sugerem modestamente que trabalhos futuros poderiam explorar a seleção formal de modelos para especificações de séries temporais e alternativas de priori que garantam a não-negatividade e a estabilidade de longo prazo nas projeções de dispersão.