Dynamic Programming Treatment of the Solow and Ramsey–Cass–Koopmans Growth Models
Questo articolo collega i modelli di crescita di Solow e Ramsey–Cass–Koopmans all'equazione di Bellman per dimostrare che, sebbene il tasso di convergenza asintotica dell'iterazione della funzione valore stimata sia determinato dal fattore di sconto, la selezione di una stima iniziale della funzione valore più vicina alla soluzione vera riduce significativamente il numero di iterazioni necessarie per raggiungere un errore target.
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La crescita economica è la storia di come le società diventano più ricche nel tempo, producendo più beni e servizi per la loro popolazione. Per decenni, gli economisti si sono affidati a due storie principali per spiegare questo processo. La prima storia, nota come modello di Solow, tratta la quantità di denaro che le persone risparmiano e investono come una regola fissa, simile a un'aliquota fiscale stabilita da un governo. Presuppone che se un paese risparmia una certa percentuale del suo reddito ogni anno, quella decisione venga semplicemente presa per loro. La seconda storia, chiamata modello di Ramsey, è più complessa. Suggerisce che le persone siano pianificatori intelligenti che decidono quanto risparmiare e quanto spendere in base a ciò che renderà loro più felici durante l'intera vita. Questa seconda storia è più difficile da risolvere perché richiede il calcolo del percorso ottimale per un nucleo familiare che vive per sempre, bilanciando il desiderio di godersi la vita oggi con la necessità di prepararsi per il domani.
Per risolvere questi complessi problemi di pianificazione, gli economisti utilizzano uno strumento matematico chiamato programmazione dinamica. Immaginate di cercare di trovare il percorso migliore attraverso una vasta città nebbiosa. Non potete vedere l'intera mappa in una volta sola, quindi fate una supposizione sul percorso migliore, controllate se funziona e poi regolate la vostra supposizione in base a ciò che avete imparato. Ripetete questo processo, perfezionando il vostro percorso passo dopo passo, finché non siete sicuri di aver trovato la strada più breve. In economia, questo processo è chiamato iterazione della funzione valore. Il computer parte da una stima approssimativa di quanto valore ottenga un nucleo familiare dal possedere una certa quantità di ricchezza, poi aggiorna ripetutamente questa stima per vedere se può fare di meglio. La domanda che i ricercatori si pongono spesso non è se questo metodo alla fine funzioni, ma quanti passaggi occorrono per arrivarci. La stima iniziale conta, o il computer si limita a procedere con lo stesso numero di passaggi indipendentemente da dove inizi?
Un team di ricercatori provenienti da università della Palestina e della Colombia si è posto proprio questa domanda utilizzando uno scenario economico ben noto la cui risposta corretta è già nota. Hanno scelto una versione semplificata del modello di Ramsey dove la matematica può essere risolta esattamente a mano, fornendo un bersaglio perfetto verso cui puntare. Volevano vedere se iniziare il processo di supposizione del computer con un tipo specifico di ipotesi istruita rendesse il raggiungimento della risposta corretta più veloce rispetto all'iniziare con un'altra ipotesi, ugualmente ragionevole, differente. Non hanno inventato un nuovo modo per risolvere il problema; hanno invece misurato attentamente come la scelta della prima ipotesi cambiasse la velocità della soluzione.
I ricercatori hanno eseguito le loro simulazioni su un computer utilizzando una griglia di 150 punti per rappresentare diversi livelli di ricchezza. Hanno testato due diverse ipotesi iniziali. La prima ipotesi era una formula che somigliava un po' a una curva logaritmica, mentre la seconda era una curva diversa che cresceva più lentamente. Entrambe le ipotesi erano punti di partenza ragionevoli, ma non erano le stesse. Quando hanno lasciato che il computer eseguisse il suo standard processo di aggiornamento, i risultati hanno mostrato una chiara differenza. La seconda ipotesi iniziale ha permesso al computer di raggiungere un alto livello di accuratezza in 28 passaggi. La prima ipotesi ha richiesto 37 passaggi per raggiungere lo stesso livello di accuratezza. Ciò significa che scegliere semplicemente un punto di partenza migliore ha fatto risparmiare al computer circa il 24 percento del lavoro.
Tuttavia, i ricercatori hanno scoperto che questo vantaggio era temporaneo. Una volta che il computer ha superato i primi passaggi, entrambe le ipotesi iniziali hanno iniziato a migliorare esattamente alla stessa velocità. Il divario tra loro non è cresciuto né diminuito; è rimasto costante. La migliore ipotesi iniziale era semplicemente più vicina alla risposta finale per cominciare, quindi aveva meno distanza da percorrere. Non era un corridore più veloce, era solo uno che partiva più vicino al traguardo. Questa distinzione è importante perché dice agli economisti che, sebbene un buon punto di partenza faccia risparmiare tempo, non cambia la velocità fondamentale con cui il computer impara.
Lo studio ha anche svelato un problema nascosto nel modo in cui questi modelli informatici gestiscono le quantità di ricchezza più piccole. Quando i ricercatori hanno esaminato l'intero intervallo di ricchezza, incluse le quantità minime vicino allo zero, l'accuratezza del computer ha raggiunto un limite invalicabile. Questo accadeva perché il computer stava utilizzando una griglia con punti equispaziati, che è come cercare di disegnare una curva molto acuta usando solo linee rette. Vicino allo zero, la curva è così ripida che le linee rette non riescono a seguirla da vicino, creando una sfocatura permanente. I ricercatori hanno dimostrato che, se volevano rimuovere questa sfocatura, non potevano limitarsi a far girare il computer per più passaggi; avrebbero dovuto utilizzare una griglia più fine con più punti.
Inoltre, il team ha scoperto che il computer trova spesso il miglior piano di spesa molto più velocemente di quanto trovi il valore esatto di quel piano. In molti studi economici, l'obiettivo è sapere esattamente quanta felicità una persona ottiene dalla sua ricchezza. Ma se l'obiettivo è semplicemente sapere quanto una persona dovrebbe spendere o risparmiare, il computer può trovare questa risposta molto rapidamente, anche mentre sta ancora faticando per definire il valore esatto. Ciò suggerisce che per molti scopi pratici, i ricercatori potrebbero non dover aspettare che il computer finisca il suo calcolo completo.
Infine, i ricercatori hanno confrontato il loro metodo di semplice supposizione e verifica con una tecnica più avanzata chiamata iterazione della politica, che è come un modo più intelligente di navigare nella città. Hanno scoperto che l'uso di questa tecnica avanzata riduceva il numero di passaggi necessari molto più di quanto facesse semplicemente scegliere un'ipotesi iniziale migliore. Sebbene un buon punto di partenza sia utile, l'uso di un algoritmo migliore è un modo molto più potente per risparmiare tempo. Lo studio conclude che, quando gli economisti eseguono questi modelli, dovrebbero fare attenzione a riportare non solo il risultato finale, ma anche come sono partiti, come hanno misurato i loro progressi e quanto finemente hanno disegnato la loro griglia. Questi dettagli sono importanti perché determinano quanto lavoro il computer abbia effettivamente dovuto compiere per ottenere la risposta.
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