Dynamic Programming Treatment of the Solow and Ramsey–Cass–Koopmans Growth Models

Wirtschaftswachstum ist die Geschichte darüber, wie Gesellschaften im Laufe der Zeit reicher werden, indem sie mehr Güter und Dienstleistungen für ihre Menschen produzieren. Seit Jahrzehnten verlassen sich Ökonomen auf zwei Hauptgeschichten, um diesen Prozess zu erklären. Die erste Geschichte, bekannt als Solow-Modell, behandelt die Menge an Geld, das Menschen sparen und investieren, als eine feste Regel, vergleichbar mit einem von einer Regierung festgelegten Steuersatz. Sie geht davon aus, dass, wenn ein Land jedes Jahr einen bestimmten Prozentsatz seines Einkommens spart, diese Entscheidung einfach für sie getroffen wird. Die zweite Geschichte, genannt Ramsey-Modell, ist komplexer. Sie legt nahe, dass Menschen kluge Planer sind, die entscheiden, wie viel sie sparen und wie viel sie ausgeben, basierend darauf, was sie über ihr gesamtes Leben hinweg am glücklichsten macht. Diese zweite Geschichte ist schwieriger zu lösen, da sie die Berechnung des bestmöglichen Pfades für einen Haushalt erfordert, der ewig lebt und dabei das Verlangen, das Leben heute zu genießen, gegen die Notwendigkeit abwägt, für das Morgen vorzusorgen.

Um diese komplexen Planungsprobleme zu lösen, nutzen Ökonomen ein mathematisches Werkzeug namens dynamische Programmierung. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, die beste Route durch eine riesige, neblige Stadt zu finden. Sie können die gesamte Karte nicht auf einmal sehen, also machen Sie eine Vermutung über den besten Weg, prüfen, ob dieser funktioniert, und passen Ihre Vermutung dann basierend auf dem, was Sie gelernt haben, an. Sie wiederholen diesen Prozess und verfeinern Ihre Route Schritt für Schritt, bis Sie zuversichtlich sind, den kürzesten Weg gefunden zu zu haben. In der Wirtschaftswissenschaft wird dieser Prozess als Wertfunktionsiteration bezeichnet. Der Computer beginnt mit einer groben Schätzung darüber, wie viel Wert ein Haushalt aus einem bestimmten Vermögen zieht, und aktualisiert diese Schätzung dann wiederholt, um zu sehen, ob er es besser machen kann. Die Frage, der sich Forscher oft stellen, ist nicht, ob diese Methode irgendwann funktioniert, sondern wie viele Schritte es ihr bis dahin bedauert. Spielt die ursprüngliche Vermutung eine Rolle, oder arbeitet der Computer unabhängig davon, wo er beginnt, einfach dieselbe Anzahl an Schritten ab?

Ein Team von Forschern aus Universitäten in Palästina und Kolumbien setzte sich mit genau dieser Frage auseinander, indem sie ein bekanntes wirtschaftliches Szenario wählten, bei dem das korrekte Ergebnis bereits bekannt ist. Sie entschieden sich für eine vereinfachte Version des Ramsey-Modells, bei der die Mathematik von Hand exakt gelöst werden kann, was ihnen ein perfektes Ziel vorgibt. Sie wollten sehen, ob die Tatsache, dass der Computer seinen Vermutungsprozess mit einer spezifischen Art von gebildeter Vermutung startet, ihn schneller zur richtigen Antwort führt als ein Start mit einer anderen, gleichermaßen vernünftigen Vermutung. Sie haben keinen neuen Weg zur Lösung des Problems erfunden; stattdessen haben sie sorgfältig gemessen, wie die Wahl der ersten Vermutung die Geschwindigkeit der Lösung veränderte.

Die Forscher ließen ihre Simulationen auf einem Computer mit einem Gitter von 150 Punkten laufen, um verschiedene Wohlstandsniveaus darzustellen. Sie testeten zwei verschiedene Startvermutungen. Die erste Vermutung war eine Formel, die einer logarithmischen Kurve ähnelte, während die zweite eine andere Kurve war, die langsamer anstieg. Beide Vermutungen waren vernünftige Ausgangspunkte, aber sie waren nicht identisch. Als sie den Standard-Aktualisierungsprozess des Computers laufen ließen, zeigten die Ergebnisse einen deutlichen Unterschied. Die zweite Startvermutung ermöglichte es dem Computer, eine hohe Genauigkeit in 28 Schritten zu erreichen. Die erste Vermutung benötigte 37 Schritte, um dieselbe Genauigkeit zu erreichen. Das bedeutet, dass die Wahl eines besseren Startpunkts allein dem Computer etwa 24 Prozent der Arbeit ersparte.

Die Forscher fanden jedoch heraus, dass dieser Vorteil vorübergehend war. Sobald der Computer die ersten Schritte hinter sich gebracht hatte, verbesserten sich beide Startvermutungen mit exakt derselben Geschwindigkeit. Der Abstand zwischen ihnen wurde weder größer noch kleiner; er blieb konstant. Die bessere Startvermutung war schlichtweg näher am Endergebnis, daher hatte sie weniger Weg zurückzulegen. Sie war kein schnellerer Läufer, sondern lediglich einer, der näher an der Ziellinie startete. Diese Unterscheidung ist wichtig, denn sie zeigt Ökonomen, dass ein guter Startpunkt zwar Zeit spart, aber nicht die grundlegende Geschwindigkeit ändert, mit der der Computer lernt.

Die Studie deckte auch ein verborgenes Problem auf, das bei der Handhabung der kleinsten Vermögenswerte in diesen Computermodellen auftritt. Als die Forscher den gesamten Bereich des Wohlstands betrachteten, einschließlich der winzigsten Beträge nahe Null, stieß die Genauigkeit des Computers an eine harte Grenze. Unabhängig davon, wie viele Schritte der Computer unternahm, verschwand der Fehler nahe Null nicht. Dies geschah, weil der Computer ein Gitter mit gleichmäßig verteilten Punkten verwendete, was so ist, als versuche man, eine sehr scharfe Kurve nur mit geraden Linien zu zeichnen. In der Nähe von Null ist die Kurve so steil, dass die geraden Linien sie nicht eng genug verfolgen können, was eine permanente Unschärfe erzeugt. Die Forscher zeigten, dass sie, wenn sie diese Unschärfe beseitigen wollten, nicht einfach den Computer für mehr Schritte laufen lassen könnten, sondern ein feineres Gitter mit mehr Punkten verwenden müssten.

Darüber hinaus entdeckte das Team, dass der Computer oft den besten Ausgabenplan viel schneller findet als den exakten Wert dieses Plans. In vielen Wirtschaftsstudien ist das Ziel zu wissen, wie viel Glück eine Person aus ihrem Vermögen zieht. Aber wenn das Ziel lediglich darin besteht zu wissen, wie viel eine Person ausgeben oder sparen sollte, kann der Computer diese Antwort sehr schnell finden, selbst während er noch damit kämpft, den exakten Wert festzuzurren. Dies deutet darauf an, dass Forscher für viele praktische Zwecke möglicherweise nicht darauf warten müssen, bis der Computer seine vollständige Berechnung abgeschlossen hat.

Schließlich verglichen die Forscher ihre Methode des bloßen Vermutens und Prüfens mit einer fortgeschritteneren Technik namens Policy Iteration, die einer intelligenteren Navigation durch die Stadt gleicht. Sie fanden heraus, dass die Verwendung dieser fortgeschrittenen Technik die Anzahl der benötigten Schritte weitaus stärker reduzierte, als es die bloße Wahl einer besseren Startvermutung vermochte. Während ein guter Startpunkt hilfreich ist, ist die Verwendung eines besseren Algorithmus ein wesentlich mächtigerer Weg, um Zeit zu sparen. Die Studie kommt zu dem Schluss, dass Ökonomen, wenn sie diese Modelle ausführen, vorsichtig sein sollten, nicht nur das Endergebnis zu berichten, sondern auch, wie sie gestartet sind, wie sie ihren Fortschritt gemessen haben und wie fein sie ihr Gitter gezeichnet haben. Diese Details sind wichtig, da sie bestimmen, wie viel Arbeit der Computer tatsächlich leisten musste, um die Antwort zu finden.