Dynamic Programming Treatment of the Solow and Ramsey–Cass–Koopmans Growth Models

経済成長とは、社会がいかにして時間の経過とともに豊かになり、人々のために、より多くの財やサービスを生産していくかという物語です。何十年もの間、経済学者たちはこのプロセスを説明するために、主に二つの物語に依拠してきました。第一の物語は「ソロー・モデル」として知られ、人々が貯蓄し投資する額を、政府が設定する税率のように、固定されたルールとして扱います。これは、ある国が毎年所得の一定割合を貯蓄すると仮定した場合、その決定はあらかじめ決められているものとみなします。第二の物語は「ラムゼー・モデル」と呼ばれ、より複雑です。これは、人々が一生を通じてどのようにすれば最も幸福になれるかに基づいて、どれだけ貯蓄し、どれだけ消費するかを決定する、賢明なプランナーであると示唆しています。この第二の物語は、今日を楽しむ欲望と、明日への備えの必要性のバランスを取りながら、永遠に生きる世帯にとっての最適な経路を計算する必要があるため、解くのがより困難です。

これらの複雑な計画問題を解くために、経済学者は「動的計画法」と呼ばれる数学的なツールを使用します。広大で霧に包まれた街の中で、最適なルートを探そうとしている場面を想像してみてください。一度に地図全体を見ることはできないので、まずは最善と思われる経路を推測し、それが機能するかどうかを確認し、学んだことに基づいてその推測を調整します。このプロセスを、自信を持って最短経路を見つけるまで、一歩ずつ経路を洗練させながら繰り返します。経済学において、このプロセスは「価値関数反復法」と呼ばれます。コンピュータは、ある一定の富を持つことで世帯が得られる価値についての粗い推測からスタートし、より良い結果が得られるかどうかを確認しながら、その推測を繰り返し更新していきます。研究者が直面することが多い問いは、この手法が最終的に機能するかどうかではなく、そこに到達するまでに何ステップかかるかということです。初期の推測が重要なのでしょうか、それともコンピュータは、どこから始めたとしても同じステップ数をひたすらこなすだけなのでしょうか。

パレスチナとコロンビアの大学の研究チームは、正解がすでに分かっている有名な経済シナリオを用いて、この特定の問いに答えるべく取り組みました。彼らは、手計算によって正確な答えを導き出せる、簡略化されたラムゼー・モデルを選択しました。これにより、完璧な目標を設定することができたのです。彼らは、コンピュータの推測プロセスを開始する際に、特定の種類の「教育された推測（educated guess）」を用いることが、別の同様に妥当な推測を用いるよりも、正解に到達する速度を速めることができるかどうかを検証したいと考えました。彼らは新しい解法を考案したのではなく、最初の推測の選択が解法の速度をどのように変えるかを、注意深く測定したのです。

研究者たちは、異なる富のレベルを表すために150個のポイントを持つグリッドを用いて、コンピュータによるシミュレーションを行いました。彼らは二種類の異なる初期推測をテストしました。最初の推測は、対数曲線に似た数式であり、二番目の推測は、より緩やかに上昇する別の曲線でした。どちらの推測も妥当な出発点でしたが、同一ではありませんでした。コンピュータに標準的な更新プロセスを実行させたところ、結果には明確な差が現れました。二番目の初期推測を用いた場合、コンピュータは28ステップで高い精度に到達しました。一方、最初の推測では、同じ精度に達するまでに37ステップを要しました。これは、単に優れた出発点を選ぶだけで、コンピュータの作業量を約24パーセント削減できることを意味しています。

しかし、研究者たちは、この優位性は一時的なものであることも発見しました。コンピュータが最初の数ステップを過ぎると、両方の初期推測は全く同じ速度で改善し始めました。両者の差は拡大も縮小もせず、一定のまま推移しました。より優れた初期推測は、単に最初から最終回答に近い位置にいたに過ぎず、移動すべき距離が短かっただけなのです。それは「より速いランナー」だったのではなく、「スタートラインがよりゴールに近いランナー」だったのです。この区別は重要です。なぜなら、優れた出発点は時間を節約するものの、コンピュータが学習する根本的な速度を変えるわけではないことを、経済学者に伝えているからです。

また、この研究は、これらのコンピュータモデルが極めて少額の富をどのように扱うかという、隠れた問題をも明らかにしました。ゼロに近い極めて小さな富の範囲を含めて全範囲を調査したところ、コンピュータの精度はある限界に突き当たりました。コンピュータが何ステップ繰り返したとしても、スケールの底辺付近の誤差は消えませんでした。これは、コンピュータが等間隔のポイントを持つグリッドを使用しているために起こりました。これは、非常に鋭い曲線を、直線のみを使って描こうとするようなものです。ゼロ付近では曲線があまりに急峻であるため、直線では密接に追従できず、永続的な「ぼけ（blur）」が生じてしまうのです。研究者たちは、もしこの「ぼけ」を取り除きたいのであれば、単にコンピュータのステップ数を増やすのではなく、より細かいグリッド（より多くのポイント）を使用しなければならないことを示しました。

さらに、研究チームは、コンピュータが「最適な消費計画」を見つけ出すことは、「その計画の正確な価値」を見つけ出すよりもずっと速いことが多いという事実を発見しました。多くの経済研究では、ある人がその富からどれほどの幸福を得るのかを正確に知ることが目的となります。しかし、もし目的が単に「人はどれだけ消費し、あるいは貯蓄すべきか」を知ることであるならば、コンピュータは、正確な価値を特定することに苦戦している間であっても、その答えを非常に素早く見つけ出すことができます。これは、多くの実用的な目的において、研究者がコンピュータの計算が完全に終了するのを待つ必要はないかもしれないことを示唆しています。

最後に、研究者たちは、単なる「推測と確認」という彼らの手法を、「政策反復法（policy iteration）」と呼ばれる、より高度なテクニックと比較しました。これは、よりスマートな街のナビゲーション方法のようなものです。彼らは、この高度なテクニックを使用することで、単に優れた初期推測を選ぶよりもはるかに多くのステップ数を削減できることを見出しました。優れた出発点は有用ですが、より優れたアルゴリズムを使用することの方が、時間を節約するためのより強力な手段となります。研究は、経済学者がこれらのモデルを実行する際、最終的な結果だけでなく、どのように開始したか、どのように進捗を測定したか、そしていかに細かくグリッドを描いたかを報告すべきであると結論付けています。これらの詳細は、コンピュータが答えを得るために実際にどれだけの作業を行ったかを決定するため、極めて重要なのです。