Dynamic Programming Treatment of the Solow and Ramsey–Cass–Koopmans Growth Models

Economische groei is het verhaal van hoe samenlevingen rijker worden door de tijd heen, door meer goederen en diensten te produceren voor hun mensen. Decennialang hebben economen op twee hoofdverhalen vertrouwd om dit proces te verklaren. Het eerste verhaal, bekend als het Solow-model, behandelt de hoeveelheid geld die mensen sparen en investeren als een vaste regel, zoals een belastingtarief dat door een overheid wordt vastgesteld. Het gaat ervan uit dat als een land elk jaar een bepaald percentage van zijn inkomen spaart, die beslissing simpelweg voor hen wordt genomen. Het tweede verhaal, het Ramsey-model genoemd, is complexer. Het suggereert dat mensen slimme planners zijn die beslissen hoeveel ze sparen en hoeveel ze uitgeven op basis van wat hen hun hele leven het gelukkigst zal maken. Dit tweede verhaal is moeilijker op te lossen omdat het vereist dat men het best mogelijke pad berekent voor een huishouden dat eeuwig leeft, waarbij de wens om vandaag van het leven te genieten wordt afgewogen tegen de noodzaak om zich voor morgen voor te bereiden.

Om deze complexe planningsproblemen op te lossen, gebruiken economen een wiskundige tool genaamd dynamische programmering. Stel je voor dat je probeert de beste route door een enorme, mistige stad te vinden. Je kunt de hele kaart niet in één keer zien, dus maak je een gok over de beste route, controleert of deze werkt, en past je gok vervolgens aan op basis van wat je hebt geleerd. Je herhaalt dit proces, waarbij je je route stap voor stap verfijnt, totdat je er zeker van bent dat je de kortste weg hebt gevonden. In de economie wordt dit proces waarde-functie iteratie genoemd. De computer begint met een ruwe schatting van hoeveel waarde een huishouden krijgt van een bepaalde hoeveelheid rijkdom, en werkt die schatting vervolgens herhaaldelijk bij om te zien of het beter kan. De vraag waar onderzoekers vaak voor staan is niet of deze methode uiteindelijk werkt, maar hoeveel stappen het kost om daar te komen. Maakt de begin gok uit, of werkt de computer gewoon hetzelfde aantal stappen door, ongeacht waar hij begint?

Een team van onderzoekers van universiteiten in Palestina en Colombia zette zich af om deze specifieke vraag te beantwoorden met behulp van een bekend economisch scenario waarvan het juiste antwoord al bekend is. Ze kozen een vereenvoudigde versie van het Ramsey-model waarbij de wiskunde exact met de hand kan worden opgelost, wat hen een perfect doel geeft om op te mikken. Ze wildend zien of het starten van het gokproces van de computer met een specif kind van een geïnformeerde gok, het de computer sneller zou laten bereiken van het juiste antwoord dan wanneer ze zouden starten met een andere, even redelijke gok. Ze hebben niet op een nieuwe manier gezocht om het probleem op te lossen; in plaats daarvan hebben ze zorgvuldig gemeten hoe de keuze van de eerste gok de snelheid van de oplossing veranderde.

De onderzoekers voerden hun simulaties op een computer uit met een rooster van 150 punten om verschillende niveaus van rijkdom te vertegenwoordigen. Ze testten twee verschillende begin gokken. De eerste gok was een formule die enigsz Constant lijkt op een logaritmische curve, terwijl de tweede gok een andere curve was die langzamer steeg. Beide gokken waren redelijke startpunten, maar ze waren niet hetzelfde. Toen ze de standaard updateprocedure van de computer lieten draaien, lieten de resultaten een duidelijk verschil zien. De tweede begin gok liet de computer de correcte nauwkeurigheid bereiken in 28 stappen. De eerste gok vereiste 37 stappen om diezelfde nauwkeurigheid te bereiken. Dit betekent dat het simpelweg kiezen van een beter startpunt de computer ongeveer 24 procent minder werk bespaarde.

De onderzoekers ontdekten echter dat dit voordeel tijdelijk was. Zodra de computer de eerste paar stappen had doorlopen, begonnen beide begin gokken precies even snel te verbeteren. Het gat tussen hen werd niet groter of kleiner; het bleef constant. De betere begin gok was simpelweg dichter bij het uiteindelijke antwoord om te beginnen, dus had het minder afstand om af te leggen. Het was niet een snellere loper, maar slechts een die dichter bij de finishlijn begon. Dit onderscheid is belangrijk omdat het economen vertelt dat hoewel een goed startpunt tijd bespaart, het de fundamentele snelheid waarmee de computer leert niet verandert.

De studie bracht ook een verborgen probleem aan het licht met de manier waarop deze computermodellen omgaan met de allerkleinste hoeveelheden rijkdom. Wanneer de onderzoekers naar het volledige bereik van rijkdom keken, inclus\ de kleinste hoeveelheden nabij nul, raakte de nauwkeurigheid van de computer een harde limiet. Geen matter hoeveel stappen de computer ook nam, de fout nabij de onderkant van de schaal verdween niet. Dit gebeurde omdat de computer een rooster gebruikte met gelijkmatig verdeelde punten, wat is als het proberen te tekenen van een zeer scherpe curve met alleen maar rechte lijnen. Nabij nul is de curve zo steil dat de rechte lijnen deze niet nauwkeurig kunnen volgen, wat een permanente vervaging creëert. De onderzoekers toonden aan dat als ze deze vervaging wilden verwijderen, ze niet simpelweg de computer meer stappen konden laten zetten; ze zouden een fijner rooster met meer punten moeten gebruiken.

Verder ontdekten het team dat de computer vaak het beste bestedingsplan vindt veel sneller dan het exacte waarde van dat plan. In veel economische studies is het doel om precies te weten hoeveel geluk een persoon krijgt van zijn rijkdom. Maar als het doel simpelweg is om te weten hoeveel een persoon moet uitgeven of sparen, kan de computer dat antwoord zeer snel vinden, zelfs terwijl het nog worstelt om de exacte waarde vast te stellen. Dit suggereert dat onderzoekers voor veel praktische doeleinden er misschien niet op hoeven te wachten tot de computer zijn volledige berekening heeft voltooid.

Ten slotte vergeleken de onderzoekers hun methode van simpelweg gokken en controleren met een geavanceerdere techniek genaamd beleidsiteratie, wat een slimmere manier is om door de stad te navigeren. Ze vonden dat het gebruik van deze geavanceerde techniek het aantal benodigde stappen veel meer verminderde dan simpelweg het kiezen van een betere begin gok deed. Hoewel een goed startpunt nuttig is, is het gebruik van een beter algoritme een veel krachtiger manier om tijd te besparen. De studie concludeert dat wanneer economen deze modellen draaien, ze voorzichtig moeten zijn met het rapporteren van niet alleen het eindresultaat, maar ook hoe ze begonnen, hoe ze hun voortgang maten en hoe fijn ze hun rooster tekenden. Deze details zijn belangrijk omdat ze bepalen hoeveel werk de computer daadwerkelijk moest doen om het antwoord te krijgen.